Transformaties van goniometrische functies

Goniometrie: Goniometrische functies

Transformaties van goniometrische functies

We hebben gezien hoe de standaard sinus- en cosinusfuncties eruit zien. Ook deze functies kunnen we transformeren.

Transformaties

We kunnen de functies #f(x)=\sin(x)# en #g(x)=\cos(x)# op vier manieren transformeren. We zullen deze manieren laten zien aan de hand van de sinusfunctie, maar de cosinus werkt op dezelfde manier.

	Transformaties	Voorbeelden
1	We schuiven de grafiek van #f(x)=\sin(x)# met #\green q# omhoog. De nieuwe functie wordt \[f(x)=\sin(x)+\green q\] De periode en amplitude van de functie blijven gelijk, maar de evenwichtsstand wordt gelijk aan #\green q#.	Plaatje verticale translatie
2	We schuiven de grafiek van #f(x)=\sin(x)# met #\blue p# naar rechts. De nieuwe functie wordt \[f(x)=\sin\left(x-\blue p\right)\] De periode, amplitude en evenwichtsstand blijven gelijk. We noemen #\blue p# het faseverschil.	Plaatje horizontale translatie
3	We vermenigvuldigen de grafiek van #f(x)=\sin(x)# met #\purple a# ten opzichte van de #x#-as. De nieuwe functie wordt \[f(x)=\purple a \sin(x)\] De periode en evenwichtsstand blijven gelijk, maar de amplitude wordt gelijk aan #\purple{\left\| a \right\|}#. Wanneer #\purple a \lt 0# dan draait de grafiek om. Dat betekent dat hij eerst gaat dalen in plaats van stijgen. Als #\purple a =- 1#, dan is de nieuwe functie een spiegeling in de #x#-as van de oude functie.	Plaatje vermenigvuldiging x-as
4	We vermenigvuldigen de grafiek van #f(x)=\sin(x)# met #\orange b# ten op zichte van de #y#-as. Dat betekent dat we #x# vervangen door #\frac{1}{\orange b}x#. De nieuwe functie wordt \[f(x)=\sin\left(\frac{1}{\orange b}x\right)\] De evenwichtsstand en amplitude blijven gelijk, maar de periode wordt gelijk aan #\orange b \cdot 2 \pi#.	Plaatje vermenigvuldiging #y#-as.

Meerdere transformaties

We kunnen ook meerdere transformaties na elkaar uitvoeren.

Bijvoorbeeld: #f(x)=\purple3 \sin(\left(x-\blue4\right)# is eerst een verschuiving van #\blue4# naar rechts en vervolgens een vermenigvuldiging van #\purple3# ten opzichte van de #x#-as van de goniometrische functie #f(x)=\sin(x)#.

Sinus- en cosinusfunctie opstellen

De standaard sinusfunctie heeft de vorm #f(x)=\purple a \sin(\tfrac{1}{\orange b}(x-\blue p))+\green q#.

Deze functie heeft periode #\orange b \cdot 2 \pi#, amplitude #\purple a#, evenwichtsstand #\green q# en faseverschil #\blue p#. Dat laatste betekent bij een sinus dat in #x=\blue p# de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. We kunnen vanuit een grafiek de bijhorende sinusfunctie opstellen door deze vier eigenschappen zorgvuldig te bekijken.

Ditzelfde geldt ook voor de cosinusfunctie. De standaardcosinusfunctie is #f(x)=\purple a \cos(\tfrac{1}{\orange b}(x-\blue p))+\green q#.

Deze functie heeft periode #\orange b \cdot 2 \pi#, amplitude #\purple a#, evenwichtsstand #\green q# en faseverschil #\blue p#. Dat laatste betekent bij een cosinus dat de grafiek in #x=\blue p# een top heeft (met #y#-waarde gelijk aan #\purple a + \green q#).

We merken op dat de cosinus te verkrijgen is uit de sinus door een translatie: er geldt immers #\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})#. We zagen dit eerder al bij de symmetrie van de eenheidscirkel.

Bekijk de twee grafieken van sinusfuncties.

De blauwe (doorgetrokken) grafiek heeft de formule:
\[y=\sin \left(x\right)\]
Geef de formule van de groene (gestreepte) grafiek?

#y=# #\sin \left(x+2\right)#

Op de blauwe grafiek ligt het punt #\rv{0,0}#, we bekijken waar ditzelfde punt op de groene grafiek ligt. Op de groene grafiek ligt ditzelfde punt op #\rv{-2,0}#.
Dus de groene grafiek is ontstaan door de blauwe grafiek #2# naar links te schuiven. Dus we vervangen alle voorkomens van #x# in de formule van de blauwe grafiek #y=\sin \left(x\right)# door #x+2#. Dat geeft de volgende formule voor de groene grafiek:
\[y=\sin \left(x+2\right)\]

Nieuw voorbeeld