La función logarítmica

Funciones exponenciales y logaritmos: Funciones logarítmicas

La función logarítmica

Anteriormente, echamos un vistazo a las funciones exponenciales. Ahora echaremos un vistazo a los logaritmos. El logaritmo puede verse como el inverso, u opuesto, de la función exponencial. Tomemos la función $\blue{a}^x$ ; puede ser interesante resolver la $x$ en la ecuación $\blue{a}^x=\green{b}$ . Al resolver esta ecuación, usaremos el logaritmo.

Logaritmo

El número $\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)$ es el exponente al que hay que elevar el número $\blue{a}$ para obtener $\green{b}$ . A esto lo llamamos logaritmo. Por lo tanto,

$\begin{array}{lcr}\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)=x&\text{ da }&\blue{a}^x=\green{b}\end{array}$

El número $\blue{a}$ se llama base del logaritmo. El número $\blue{a}$ tiene que ser positivo y no igual a $1$ , el número $\green{b}$ tiene que ser positivo.

Ejemplos

$\begin{array}{lcrl}\log_{\blue{2}}\left(\green{8}\right)&=&3&\text{porque }\blue{2}^3=\green{8} \\ \log_{\blue{4}}\left(\green{\frac{1}{16}}\right)&=&-2&\text{porque }\blue{4}^{-2}=\green{\frac{1}{16}} \\ \log_{\blue{5}}\left(\green{\sqrt{5}}\right)&=&\frac{1}{2}&\text{porque }\blue{5}^{\frac{1}{2}}=\green{\sqrt{5}} \\ \end{array}$

Etimología

La palabra logaritmo es una combinación de dos palabras griegas: 'logos' y 'arithmos'. 'Arithmos' significa 'número'. 'Logos' significa 'razón'. El término fue acuñado por el matemático escocés John Napier en 1614.

Podemos derivar dos reglas importantes de la definición de logaritmo.

$\begin{array}{rcl}\blue{a}^{\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)}&=&\green{b}\end{array}$

Ejemplo

$\begin{array}{lccr}\blue{3}^{\log_{\blue{3}}\left(\green{9}\right)}&=&\green{9}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^{\green{b}}\right)&=&\green{b}\end{array}$

Ejemplo

$\begin{array}{lccrr}\log_{\blue{a}}\left(1\right)&=&\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^\green{0}\right)&=&\green{0}\end{array}$

Simplifica $\log_{5}\left(3125\right).$

$5$

$\begin{array}{rcl} \log_{5}\left(3125\right)&=&\log_{5}\left(5^5 \right)\\ &&\quad \blue{\text{identifica }x\text{ tal que }5^x=3125}\\ &=& 5\\ &&\quad \blue{\log_{a}\left(a^b\right)=b} \end{array}$

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