Orden

Las composiciones $\blue{g(\green{h(x)})}$ y $\green{h( \blue{g(x)})}$ no suelen ser equivalentes entre sí. Por ejemplo, podemos elegir $\blue{x^2}$ y $\green{x+1}$. Esto nos da:

$$\begin{array}{crl}\blue{g( \green{h(x)})} &=& \blue{(\green{x+1})^2}=x^2+2x+1\\ \green{h(\blue{g(x)})} &=& x^2+1\end{array}$$

Esto significa que $\blue{g( \green{h(x)})}$ y $\green{h( \blue{g(x)})}$ son funciones diferentes.

Notación

Cuando escribimos $\blue{g(x)}=\blue{\sqrt{x}}$ y $\green{h(x)}=\green{x+3}$, la variable $x$ en $\blue{g(x)}$ no tiene nada que ver con la variable $x$ en $\green{ h(x) }$. La $x$ en estas funciones solo tiene significado cuando se combina con $\blue{g(x)}= \ldots$ o $\green{ h(x) }= \ldots$. También podríamos escribir $\blue{g(h)} = \blue{\sqrt{h}}$. Ahora $h$ es la variable. Independientemente de la variable que utilicemos para $\green{g(x)}$, la fórmula $\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\sqrt{\green{x+3}}}$ aún es válida.

Gráfica
Se señalan $\blue{g(h)}=\blue{h^4}$ y $\green{h(x)}=\green{x^2-5x}$. Luego, $f(x)=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}=\blue{\left(\green{x^2 - 5x} \right)^{4}}$.

La composición queda de la siguiente manera.

Ten en cuenta que usamos la notación alternativa como se menciona en el subcuadro "Notación".

Notación alternativa

Podemos evitar la confusión entre diferentes $x$ escribiendo la función $g(x)$ como $g(h)$. Al hacer esto, los ejemplos anteriores se pueden reescribir como:

$$\begin{array}{llll}f(x)=&\sqrt{x+2}&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sqrt{h}}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x+2}\\\\f(x)=&\sin(x^2)&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(h)}=\blue{\sin(h)}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x^2}\\\\f(x)=&(x^3-4x)^6&=\blue{g(}\green{h(x)}\blue{)}\quad\text{nos da}\quad\blue{g(h)}=\blue{h^6}\quad\text{y}\quad\green{h(x)}=\green{x^3-4x}\end{array}$$