La segunda derivada

Diferenciación: Aplicaciones de las derivadas

La segunda derivada

La derivada $f'$ de una función $f$ se puede derivar de nuevo. Esto se conoce como la segunda derivada de $f$ .

Para una función $\blue{f(x)}$ , denotamos la segunda derivada como:

$\green{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\orange{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)$

Ejemplo

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \orange{f'(x)}&\orange{=}&\orange{6x}\\\green{f''(x)}&\green{=}&\green{6}\end{array}$

La segunda derivada es útil cuando se quieren encontrar los valores extremos de una función $f(x)$ . Observamos antes que la condición $f'(c)=0$ no implicaba inmediatamente que $c$ correspondiera a un valor extremo. El siguiente teorema nos ayudará a determinar si tal valor corresponde a un valor extremo o no.

Si para una función $\blue{f(x)}$ y un punto $x=\purple{c}$ obtenemos

$\orange{f'(}\purple{c}\orange{)}=0$
$\green{f''(}\purple{c}\green{)}\neq 0$ ,

entonces $\blue{f(x)}$ tiene un valor extremo en $\purple{c}$ .

Si $\green{f''(}\purple{c}\green{)}>0$ , entonces $\purple{c}$ corresponde a un mínimo local. Si $\green{f''(}\purple{c}\green{)}<0$ , entonces $\purple{c}$ corresponde a un máximo local.

Ejemplo

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\ \orange{f'(x)}&=&\orange{4x+1}\\ \green{f''(x)}&=&\green{4}\\ \orange{f'(}\purple{-\frac{1}{4}}\orange{)}&=&0\\ \green{f''(}\purple{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&4\neq 0\end{array}$

En el ejemplo, $\blue{f(}\purple{-\frac{1}{4}}\blue{)}=\frac{3}{8}$ es un mínimo local de $\blue{f(x)=2x^2+x}$ .

Este teorema no se cumple si $\purple{c}$ es un valor en la frontera del dominio en el que se define $\blue{f(x)}$ .

El método paso a paso de encontrar los valores extremos de una función $f(x)$ se vuelve mucho más fácil usando este teorema. Podemos reemplazar el paso $3$ con tan solo comprobar si los ceros encontrados son menores, mayores o iguales que $0$ .

Calcula $f''(x)$ para la función $f(x)=6\cdot x^3+2\cdot x^2-4$ .

Simplifica tu respuesta tanto como sea posible.

$f''(x)=$ $36\cdot x+4$

Primero calculamos la primera derivada usando la regla de la potencia.
$f'(x)=18\cdot x^2+4\cdot x$
Luego, calculamos la segunda derivada de la misma manera.
$f''(x)=36\cdot x+4$

Nuevo ejemplo

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