De Laplace-transformatie

Differentiaalvergelijkingen en Lineaire algebra: Laplace-transformaties

De Laplace-transformatie

Een bekende techniek om (stelsels) differentiaalvergelijkingen op te lossen is gebaseerd op de Laplace-transformatie. Dit is een lineaire afbeelding tussen zekere vectorruimten van functies. Hier behandelen we de definitie van de Laplace-transformatie, de lineariteit ervan en twee belangrijke rekenregels. Later zullen we de meer rekenregels en toepassingen bij het oplossen van (stelsels) differentiaalvergelijkingen bespreken.

Laplace-getransformeerde

De Laplace-getransformeerde van een functie $f$ gedefinieerd op $\ivco{0}{\infty}$ is de functie $\laplace{(f)}$ , voor voldoend grote $s$ gedefinieerd door

$\laplace{(f)}(s) = \int_0^{\infty} f(t)\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t$

De Laplace-transformatie is de afbeelding $\laplace{}$ die aan $f$ de Laplace-getransformeerde $\laplace{(f)}$ van $f$ toevoegt.

De Laplace-getransformeerde van de constante functie $1$ is

$\laplace{(1) }(s) =\int_0^{\infty} \e^{-s\cdot t}\dd t=\left[ \frac{-1}{s}\e^{-s\cdot t}\right]_{0}^{\infty}=0-\frac{-1}{s}=\frac{1}{s}$

die gedefinieerd is op $\ivoo{0}{\infty}$ en dus op elk interval van de vorm $\ivco{a}{\infty}$ waarbij $a\gt0$ .

De Laplace-transformatie voegt dus aan een functie $f$ op het interval $\ivco{0}{\infty}$ (waarvoor de aangegeven bepaalde integraal bestaat) de functie $\laplace{(f)}$ op een interval $\ivco{a}{\infty}$ toe. Het is dus een afbeelding van de vectorruimte van reële functies op $\ivco{0}{\infty}$ (waarvoor de aangegeven bepaalde integraal bestaat) naar de verzameling van alle functies die gedefinieerd zijn op een interval van de vorm $\ivco{a}{\infty}$ .

Conventie

Het argument van de functie $f$ wordt vaak met $t$ aangeduid, om de associatie met de tijd te benadrukken; dit houdt onder andere verband met de restrictie $t\ge0$ . In het functievoorschrift van de Laplace-getransformeerde wordt gewoonlijk de variabele $s$ als argument gebruikt. De Laplace-transformatie levert dan een overgang van het tijd-domein (kortweg: $t$ -domein) naar het frequentiedomein (kortweg: $s$ -domein).

Vaak wordt in plaats van $\laplace{(f)}(s)$ de notatie $\laplace \{f(t) \}(s)$ of $\laplace \{f\}(s)$ gebruikt. We zullen de accolades $\{$ en $\}$ echter vermijden, omdat het om gebruikelijke haken gaat. We schrijven ook wel $\laplace{(f(t))}(s)$ als $f(t)$ een grote uitdrukking is om aan te geven wat het argument van $\laplace{}$ is. Merk op dat in $\laplace{(f)}(s)$ de prioriteit ligt op de Laplace-transformatie: duidelijker zou zijn $\left(\laplace{(f)}\right)(s)$ , maar dat vermijden we om het aantal haakjes niet te groot te maken.

Ook wordt wel de notatie $F(s)$ gebruikt voor $\laplace{(f)}(s)$ .

De Laplace getransformeerde is niet gedefinieerd voor elke functie $f$ . Maar als $\laplace{(f)}(s_0)$ bestaat voor een zekere waarde $s_0$ , dan, dan bestaat ze ook voor alle $s\ge s_0$ . Immers, de functie $\e^{-s\cdot t}$ van $t$ op het gesloten interval $\ivco{0}{\infty}$ gaat snel naar $0$ als $t$ naar $\infty$ gaat; des te sneller naarmate $s$ groter is.

De Laplace-transformatie wordt zelden uitgerekend met behulp van de integraaldefinitie. In plaats daarvan worden rekenregels gebruikt. De eerste eigenschap is de lineariteit:

Laplace lineariteitsstelling

Stel dat $f$ en $g$ continue functies zijn met de eigenschap dat $\laplace{(f)}(s)$ en $\mathcal{L}(g)(s)$ bestaan. Als $\alpha$ , $\beta$ reële getallen zijn, dan geldt

$\laplace{(\alpha\cdot f+\beta\cdot g)} =\alpha\cdot\laplace{(f)}+\beta\cdot\laplace{(g)}$

In andere woorden: de Laplace-operator is een lineaire afbeelding van de vectorruimte van alle continue reële functies waarvoor de integraal $\int_0^{\infty} f(t)\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t$ bestaat, naar de vectorruimte van alle reële functies die gedefinieerd zijn op een interval van de vorm $\ivco{a}{\infty}$ voor een reëel getal $a$ .

$\begin{array}{rcl}\laplace{(\alpha\cdot f+\beta\cdot g)}(s) &=& \int_0^{\infty} (\alpha\cdot f+\beta\cdot g)\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie Laplace-transformatie}}\\&=& \int_0^{\infty} (\alpha\cdot f\cdot \e^{-s\cdot t}+\beta\cdot g\cdot \e^{-s\cdot t})\dd t\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{distributiviteit vermenigvuldiging}}\\&=& \alpha \int_0^{\infty} f\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t+\beta\cdot\int_0^{\infty}g\cdot \e^{-s\cdot t}\dd t\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit integratie}}\\ &=&\alpha\cdot\mathcal{L} f(s)+\beta\cdot\laplace{g}(s)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie Laplace-transformatie}} \end{array}$

Verdere rekenregels:

Rekenregels voor Laplace-transformaties

Laat $a$ en $b$ reële getallen zijn met $b\gt0$ en laat $n$ een natuurlijk getal zijn.

$\begin{array}{lcrcl}\text{tijdschaling:}&\phantom{xx}&\laplace{\left(f(bt)\right)}(s) &=&\displaystyle\dfrac{1}{b} \laplace{f\left(\dfrac{s}{b}\right)}\\ \text{frequentieverschuiving:}&\phantom{xx}&\laplace{\left(\ee^{at}\cdot f(t)\right)}(s) &=& \laplace{(f)}(s-a)\\\text{afgeleide in frequentiedomein:}&\phantom{xx}&\laplace{\left(t^n\cdot f(t)\right)}(s) &=& (-1)^n\left(\laplace{(f)}\right)^{(n)}(s) \end{array}$

Speciale gevallen:

$\begin{array}{rcl} \laplace{\left(t\cdot f(t)\right)}(s) &=& -\left(\laplace{(f)}\right)'(s)\\ \laplace{\left(t^n\right)}(s) &=& \dfrac{n!}{s^{n+1}}\\ \laplace{\left(\ee^{at}\cdot \dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}\right)}(s) &=& \dfrac{1}{(s-a)^{n}}\end{array}$

Zoals we in de voorbeelden hieronder te zien is, zijn de Laplace-getransformeerden van de goniometrische functies sinus en cosinus gegeven door

$\begin{array}{rcl}\laplace{\left(\cos(t)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{s}{s^2+1}\\ \laplace{\left(\sin(t)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{1}{s^2+1}\end{array}$

De wet voor tijdschaling geeft

$\begin{array}{rclcl}\laplace{\left(\cos(bt)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{1}{b}\left(\frac{\frac{s}{b}}{\left(\frac{s}{b}\right)^2+1}\right) &=& \displaystyle\frac{s}{s^2+b^2}\\ \laplace{\left(\sin(bt)\right)}(s) &=&\displaystyle \frac{1}{b}\left(\frac{1}{\left(\frac{s}{b}\right)^2+1}\right)&=&\displaystyle\frac{b}{s^2+b^2}\end{array}$

De wet voor de afgeleide in het frequentiedomein geeft

$\begin{array}{rclcl}\laplace{\left(t\cdot\cos(t)\right)}(s) &=&\displaystyle- \frac{\dd}{\dd s}\left(\frac{s}{s^2+1}\right) &=& \displaystyle\frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}\\ \laplace{\left(t\cdot\sin(t)\right)}(s) &=&\displaystyle -\frac{\dd}{\dd s}\left(\frac{1}{s^2+1}\right)&=&\displaystyle\frac{2s}{(s^2+1)^2}\end{array}$

De wet frequentieverschuiving geeft

$\begin{array}{rclcl}\laplace{\left(\e^{at}\cdot\cos(t)\right)}(s) &=& \displaystyle\laplace{\left(\cos(t)\right)}(s-a) &=& \displaystyle\frac{s-a}{(s-a)^2+1}\\ \laplace{\left(\e^{at}\cdot\sin(t)\right)}(s) &=&\displaystyle \laplace{\left(\sin(t)\right)}(s-a)&=&\displaystyle\frac{1}{(s-a)^2+1}\end{array}$

Tijdschaling:

$\begin{array}{rcl}\laplace{\left(f(bt)\right)}(s) &=&\int_0^{\infty}f(bt)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\&=&\displaystyle\frac{1}{b}\cdot\int_0^{\infty} f(u)\cdot \ee^{-\frac{s}{b}\cdot u}\,\dd u\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{substitutie } t = \frac{u}{b}}\\ &=&\displaystyle \frac{1}{b}\laplace{(f)}\left(\frac{s}{b}\right)\\ \end{array}$

Frequentieverschuiving:

$\begin{array}{rcl}\laplace{\left(\ee^{at}\cdot f(t)\right)}(s) &=&\int_0^{\infty}\ee^{at}\cdot f(t)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\&=&\int_0^{\infty} f(t)\cdot \ee^{-(s-a)\cdot t}\,\dd t\\&=&\laplace{(f)}(s-a)\\ \end{array}$

Afgeleide in frequentiedomein: we bewijzen eerst het geval $n=1$ ; hierbij maken we gebruik van het feit dat onder de gegeven omstandigheden, differentiatie naar $s$ en integratie naar $t$ verwisseld mogen worden

$\begin{array}{rcl} \laplace{\left(t \cdot f(t)\right)}(s) &=& \int_0^{\infty}t\cdot f(t)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\ &=&- \int_0^{\infty} \dfrac{\partial}{\partial s}\left(f(t)\cdot \ee^{-st}\right)\,\dd t\\ &=&- \dfrac{\dd}{\dd s} \int_0^{\infty} f(t)\cdot \ee^{-st}\,\dd t\\ &=&- \dfrac{\dd}{\dd s}\left(\laplace{(f)}(s)\right)\\ &=& -\left(\laplace{(f)}\right)'(s)\\ \end{array}$

Het algemene geval volgt hieruit met inductie naar $n$ : voor $n\gt 1$ geldt

$\begin{array}{rcl} \laplace{\left(t^n\cdot f(t)\right)}(s) &=& \laplace{\left(t\cdot \left(t^{n-1}\cdot f(t)\right)\right)}(s)\\ &=&-\dfrac{\dd}{\dd s}\left(\laplace{(t^{n-1}f(t))}(s)\right)\\ &=&-(-1)^{n-1}\dfrac{\dd}{\dd s}\dfrac{\dd^{n-1}}{\dd s^{n-1}}\left(\laplace{(f(t))}(s)\right)\\ &=&(-1)^{n}\dfrac{\dd^{n}}{\dd s^{n}}\left(\laplace{(f(t))}(s)\right)\\ &=& (-1)^n\left(\laplace{(f)}\right)^{(n)}(s)\\ \end{array}$

De eerste twee speciale gevallen volgen uit de regel voor de afgeleide in het frequentiedomein door $n=1$ respectievelijk $f(t)=1$ te nemen. Het derde speciale geval volgt uit het vorige geval door toepassing van lineariteit en frequentieverschuiving.

Hier zijn enkele voorbeelden:

Bereken de Laplace-transformatie van de functie $f$ op $\ivco{0}{\infty}$ gedefinieerd door

$f(t) = 8 t+7$
Geef je antwoord als functievoorschrift in de variabele $s$ voor $s\gt 0$ .

$\laplace{(f)}(s) =$ ${{7 s+8}\over{s^2}}$

Met behulp van de definitie van Laplace-getransformeerde vinden we

$\begin{array}{rcl}\laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle \int_0^{\infty}\left(8 t+7\right)\cdot \ee^{-st} \,\dd t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van Laplace-getransformeerde}}\\ &=&\displaystyle\lim_{T\to\infty} \int_0^T\left(8 t+7 \right)\cdot \ee^{-st} \,\dd t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie bepaalde integraal met bovengrens }\infty}\\ &=&\displaystyle\lim_{T\to\infty}\left[-{{\left(8 s t+7 s+8\right) \euler^ {- s t }}\over{s^2}} \right]_{t=0}^{t=T}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{functie geprimitiveerd}}\\ &=&\displaystyle\lim_{T\to\infty}\left({{7 s+8}\over{s^2}}-{{\left(8 T s+7 s+8\right) \euler^ {- T s }}\over{s^2}} \right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieve functie geevalueerd in randpunten}}\\ &=&\displaystyle {{7 s+8}\over{s^2}}-0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{limiet voor }T\to\infty\text{ bepaald}}\\ &=&\displaystyle {{7 s+8}\over{s^2}} \end{array}$
Met behulp van de lineariteit kunnen we de oplossing sneller vinden:

$\begin{array}{rcl}\laplace{(f)}(s) &=&\displaystyle \laplace{\left(8 t+7\right)}(s)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }f}\\ &=&\displaystyle 8\cdot \laplace{\left( t\right)}(s)+7\cdot\laplace{\left(1\right)}(s)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van de Laplace-transformatie}}\\ &=&\displaystyle 8\cdot \frac{1}{s^2}+7\cdot\frac{1}{s}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{van rekenregels bekende Laplace-getransformeerden}}\\ &=&\displaystyle {{7 s+8}\over{s^2}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld