De normale kansverdeling

Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Veelvoorkomende continue kansverdelingen

De normale kansverdeling

Als $X$ een willekeurig gekozen waarde uit een populatie met een $N(\mu,\sigma)$ verdeling is, dan is $X$ een kansvariabele met een $N(\mu, \sigma)$ kansverdeling.

In dat geval geldt voor een elk getal $k$ dat:

$\mathbb{P}(X \leq k)$ het gebied links van $k$ is
$\mathbb{P}(X \gt k)$ het gebied rechts van $k$ is

Rekenregels

Voor elke continue kansverdeling gelden de volgende rekenregels:

$\mathbb{P}(X=k)=0$
$\mathbb{P}(X\leq k)=\mathbb{P}(X\lt k)$
$\mathbb{P}(X\geq k)=\mathbb{P}(X\gt k)$
$\mathbb{P}(X\gt k)= 1 - \mathbb{P}(X \leq k)$
$\mathbb{P}(X\lt k)= 1 - \mathbb{P}(X \geq k)$

Bovendien geldt voor elke $2$ getallen $j$ en $k$ (met $j<k$ ) de volgende rekenregel:

$\mathbb{P}(j \leq X \leq k) = \mathbb{P}(X \leq k) - \mathbb{P}(X \leq j)$

$\phantom{0}$

Laat $X$ een normale kansvariabele zijn met parameters $\mu$ en $\sigma$ .

Om cumulatieve kansen voor een normale verdeling in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

NORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)

x: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

standard_dev: De standaardafwijking van de verdeling.

cumulative: Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.

TRUE - gebruik van de cumulatieve verdelingsfunctie, $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruik van de kansdichtheidsfunctie

Om cumulatieve kansen voor een normale verdeling in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

pnorm(q, mean, sd, lower.tail)

q: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

sd: De standaarddeviatie van de verdeling.

lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen $\mathbb{P}(X \leq x)$ , anders zijn kansen $\mathbb{P}(X \gt x)$ .

IQ scores hebben een $N(100,15)$ verdeling.

Als we een willekeurig persoon uit de populatie selecteren en $X$ hun IQ score laten zijn, wat is dan $\mathbb{P}(X \lt 94)$ ? Rond je antwoord af naar $3$ decimalen.

$\mathbb{P}(X \lt 94)=0.345$

Er bestaan een aantal manieren om $\mathbb{P}(X \lt 94)$ te berekenen. Klik op één van de panelen om de desbetreffende oplossing te bekijken.

Excel Berekening

Aangezien de normale verdeling continu is, geldt de volgende rekenregel:
$\mathbb{P}(X \lt 94)=\mathbb{P}(X \leq 94)$
Om $\mathbb{P}(X \leq 94)$ in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

NORM.DIST(x, mean, standard_dev, cumulative)

x: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

standard_dev: De standaardafwijking van de verdeling.

cumulative: Een logische waarde die de vorm van de functie bepaalt.

TRUE - gebruik van de cumulatieve verdelingsfunctie, $\mathbb{P}(X \leq x)$

FALSE - gebruik van de kansdichtheidsfunctie

Dus, om $\mathbb{P}(X \leq 94)$ te berekenen, voeren we de volgende opdracht uit:
$= \text{NORM.DIST}(94, 100, 15, \text{TRUE})$
Dit geeft:
$\mathbb{P}(X \lt 94) = \mathbb{P}(X \leq 94) =0.345$

R Berekening

Aangezien de normale verdeling continu is, geldt de volgende rekenregel:
$\mathbb{P}(X \lt 94)=\mathbb{P}(X \leq 94)$
Om $\mathbb{P}(X \leq 94)$ in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

pnorm(q, mean, sd, lower.tail)

q: De waarde waarvoor je de kans wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

sd: De standaarddeviatie van de verdeling.

lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen $\mathbb{P}(X \leq x)$ , anders zijn kansen $\mathbb{P}(X \gt x)$ .

Dus, om $\mathbb{P}(X \leq 94)$ te berekenen, voeren de volgende opdracht uit:
$\text{pnorm}(q = 94, mean = 100, sd = 15, lower.tail = \text{TRUE})$
Dit geeft:
$\mathbb{P}(X \lt 94) = \mathbb{P}(X \leq 94) =0.345$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{0}$

Kwantielen van een normale verdeling

Het $\boldsymbol{p^{de}}$ kwantiel van een kansverdeling is het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X\leq q)=p$ .

Het vinden van het $p^{de}$ kwantiel voor een bepaalde $p$ in $(0,1)$ is het omgekeerde van het vinden van een kans.

Kwantielen van een normale verdeling berekenen met Statistische Software

Laat $X$ een normale kansvariabele zjin met parameters $\mu$ en $\sigma$ .

Om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q)=p$ in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

NORM.INV(probability, mean, standard_dev)

probability: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

standard_dev: De standaarddeviatie van de verdeling.

Om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q)=p$ in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

qnorm(p, mean, sd, lower.tail)

p: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

sd: De standaardafwijking van de verdeling.

lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen $\mathbb{P}(X \leq x)$ , anders zijn kansen $\mathbb{P}(X \gt x)$ .

Gegeven is dat $X$ een $N(110, 11)$ verdeling heeft.

Vind het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q) = 0.36$ . Rond je antwoord af naar $2$ decimalen.

$q=106.06$

Er bestaan een aantal manier om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q) = 0.36$ te berekenen. Klik op één van de panelen om de desbetreffende oplossing te bekijken.

Excel Berekening

Om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q)=0.36$ in Excel te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

NORM.INV(probability, mean, standard_dev)

probability: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

standard_dev: De standaarddeviatie van de verdeling.

Dus, om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q) = 0.36$ te berekenen, voeren we de volgende opdracht uit:
$=\text{NORM.INV}(0.36, 110, 11)$
Dit geeft:
$q = 106.06$

R Berekening

Om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q)=0.36$ in R te berekenen, gebruiken we de volgende functie:

qnorm(p, mean, sd, lower.tail)

p: De kans waarvoor je de waarde wilt berekenen.

mean: Het gemiddelde van de verdeling.

sd: De standaardafwijking van de verdeling.

lower.tail: Als TRUE (standaard), zijn kansen $\mathbb{P}(X \leq x)$ , anders zijn kansen $\mathbb{P}(X \gt x)$ .

Dus, om het getal $q$ zodat $\mathbb{P}(X \leq q) = 0.36$ te berekenen, voeren we de volgende opdracht uit:
$\text{qnorm}(p = 0.36, mean = 110, sd = 11, lower.tail = \text{TRUE})$
Dit geeft:
$q = 106.06$

Nieuw voorbeeld