Het bereik van een functie

Functies: Functies

Het bereik van een functie

De waarden die een functie $f:\blue X\to \orange Y$ aanneemt liggen in het codomein $\orange{Y}$ . Niet ieder element uit het codomein $\orange{Y}$ hoeft echter voor te komen als een functiewaarde van $f$ , zoals duidelijk is in het volgende voorbeeld.

De functie $f: \blue{\mathbb{R}} \to \orange{\mathbb{R}}$ met functievoorschrift $f(x)=x^2$ heeft als minimumwaarde $f(0)=0$ en kan verder alle waarden groter dan $0$ aannemen.

Dus alle waarden in het interval $\ivco{0}{\infty}$ worden door $f$ bereikt. We noemen $\ivco{0}{\infty}$ het bereik van $f$ .

In de grafiek is te zien dat de horizontale lijn $y=\orange a$ precies dan snijpunten met de grafiek heeft als $\orange a$ in het bereik van $f$ ligt.

We geven nu de formele definitie van het bereik van een functie $f$ .

Bereik

Van een functie $f: \blue X \to \orange Y$ heet $\orange Y$ het codomein.

De verzameling van alle functiewaarden $f(x)$ in $\orange Y$ voor $x \in \blue X$ heet het bereik van $f$ .

Als het bereik gelijk is aan $\orange Y$ , dan noemen we $f$ surjectief.

Voorbeeld

Van $f: \blue{\mathbb{R}} \to \orange{\mathbb{R}}$
met functievoorschrift $f(x)=-x^2$

is het bereik $\ivoc{-\infty}{0}$

Bepalen punt in bereik

Zij $f:\blue{X} \to \orange{\mathbb{R}}$ een reëelwaardige functie en $p$ een reëel getal in $\blue{X}$ met $f(p)=0$ . Dan heet $p$ een nulpunt van $f$ . In het bijzonder is $0$ dan een element uit het bereik. Omgekeerd geldt ook dat $f$ een nulpunt heeft als $0$ in het bereik zit. Dus om te controleren of $0$ een element uit het bereik is kunnen we controleren of de vergelijking $f(x) = 0$ een oplossing heeft.

Meer algemeen geldt dat een element $y$ in het bereik van $f$ zit dan en slechts dan als de vergelijking $f(x) = y$ een oplossing heeft. Dit geeft een methode om het bereik te bepalen.

Voorbeeld

De constante functie $f: \blue{\{1,2\}} \to \orange{\{1,2\}}$ met $f(1)=1$ en $f(2)=1$ is niet surjectief, want het element $2$ uit het codomein ligt niet in het bereik.

Daarentegen is de functie $f: \blue{\{1,2\}} \to \orange{\{1,2\}}$ met $f(1)=2$ en $f(2)=1$ wel surjectief, want alle elementen uit het codomein liggen in het bereik.

Het woord surjectief komt van het Franse woord "sur". De vertaling hiervan is "op". Daarom wordt de zin "een surjectieve functie van $\blue X$ naar $\orange Y$ " ook wel eens vervangen door "een functie van $\blue X$ op $\orange Y$ ".

Het bereik van de functie $f(x) = -{{18}\over{x-9}}$ bestaat uit alle reële getallen op één na. Welk getal ligt niet in het bereik?

Het getal $0$ ligt niet in het bereik.

Want een punt $y$ ligt in het bereik van $f$ dan en slechts dan als de vergelijking $y = -{{18}\over{x-9}}$ een oplossing in $x$ heeft.
Voor $y \neq 0$ geldt
$\begin{array}{rcl} y &=&\displaystyle -{{18}\over{x-9}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gegeven functie}}\\ y(x-9)&=& -18\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten met }x-9\text{ vermenigvuldigd} }\\ x-9 &=& \dfrac{-18}{y}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door }y \text{ (merk op }y\ne 0\text{)}} \\ x &=&\displaystyle \frac{-18}{y}+9\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide kanten } 9 \text{ opgeteld}} \end{array}$

Voor $y=0$ geldt
$\begin{array}{rcl} 0 &=&\displaystyle -{{18}\over{x-9}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{y=0\text{ ingevuld in functie}}\\ 0(x-9)&=& -18\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten met }x-9\text{ vermenigvuldigd} }\\ 0&=& -18\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \end{array}$

We concluderen:

Voor elke $y\ne0$ heeft de vergelijking $y = -{{18}\over{x-9}}$ wel een oplossing in $x$ , namelijk $x=9-{{18}\over{y}}$ .
Voor $y=0$ wordt de vergelijking $0= -{{18}\over{x-9}}$ ; deze heeft geen reële oplossing.

Dus $0$ is het enige reële getal dat niet in het bereik van $f(x)=-{{18}\over{x-9}}$ ligt.

Nieuw voorbeeld