Vergelijkingen met negatieve exponenten

Basisvaardigheden algebra: Negatieve exponenten

Vergelijkingen met negatieve exponenten

Ook met functies waar negatieve exponenten in voorkomen, kunnen we vergelijkingen oplossen.

Q‌uotiëntfunctie

De q‌uotiëntfunctie van twee functies $p(x)$ en $q(x)$ is de functie $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ . Zo'n functie is gedefinieerd in alle reële getallen $x$ waar $p(x)$ en $q(x)$ gedefinieerd zijn en waarvoor geldt dat $q(x)\ne0$ .

De vergelijking $\frac{p(x)}{q(x)}=0$ is equivalent met $p(x)=0$ en $q(x)\ne0$ .

Vergelijkingen Vergelijkingen waarin quotiëntfuncties voorkomen, kunnen geschreven worden als breuken zonder negatieve exponenten.

Als de onbekende in de noemer $q(x)$ van zo'n breuk staat, vermenigvuldigen we beide zijden van de vergelijking met die noemer $q(x)$ om de onbekende "boven de streep" te brengen.
Het resultaat is een nieuwe vergelijking, die alleen equivalent met de oude is als $q(x)\ne0$ . Als we de nieuwe vergelijking oplossen, dan vinden we de oplossing van de oude door de oplossingen $x$ waarvoor $q(x)\ne0$ te selecteren.

Voorbeeld

De functie $f(x) = x^{2}\cdot (x-1)^{-1}$ is een quotiëntfunctie, want zij kan geschreven worden als $\frac{x^2}{x-1}$ . Ze is overal gedefinieerd behalve in $x=1$ .

Om uit te zoeken waar deze functie de waarde $4$ aanneemt, lossen we de vergelijking $f(x) = 4$ op.

$\begin{array}{rcl} f(x) &=& 4\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ \dfrac{x^2}{x-1} &=& 4 \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{functievoorschrift ingevuld}}\\{x^2} &=& 4\cdot (x-1) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{noemer weggewerkt}}\\ x^2-4x+4 &=&0 \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{alle termen naar links}}\\ x &=&2\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{kwadratische vergelijking opgelost}}\\ \end{array}$ We gaan na dat de noemer van $f(x)$ de waarde $2-1=1$ heeft voor $x=2$ , zodat de oplossing $x=2$ inderdaad ook een oplossing is van $f(x) = 4$ . Duidelijk is dat $x=2$ de enige waarde is waarin $f(x)$ de waarde $4$ heeft.

Rekenregels voor quotiëntfuncties

De volgende bekende rekenregels voor breuken gelden ook als $p$ , $q$ , $r$ en $s$ functies zijn. Vanzelfsprekend moeten alle noemers ongelijk aan $0$ zijn.

$\displaystyle \dfrac{p}{q}+\dfrac{r}{s} = \dfrac{s\cdot p+q\cdot r}{q\cdot s}$
$\displaystyle \dfrac{p}{q}+\dfrac{r}{q} = \dfrac{ p+ r}{ q}$
$\displaystyle \dfrac{r\cdot p}{r\cdot q}= \dfrac{p}{q}$
$\displaystyle r\cdot \dfrac{p}{q}= \dfrac{r\cdot p}{q}$
$\displaystyle\dfrac{ \dfrac{p}{q}}{ \dfrac{r}{s}}= \dfrac{s\cdot p}{q\cdot r}$

De waarden van $x$ waarin de functies gedefinieerd zijn, kunnen links en rechts van het gelijkheidsteken verschillen. Bijvoorbeeld: de functie $\frac{x}{x}$ is niet in $0$ gedefinieerd, maar de vereenvoudigde breuk $1$ (verkregen door regel 3 toe te passen met $r=x$ en $p=q=1$ ) wel.

In de voorbeelden hieronder wordt stapsgewijs gedemonstreerd hoe je bepaalde vergelijkingen met waar quotiëntfuncties in voorkomen kunt oplossen.

Vind de unieke waarde van $x$ die voldoet aan $\frac{5}{x}+6=0$ .
Geef je antwoord als $x=x_1$ met $x_1$ is een onvereenvoudigbare breuk.

$x=-{{5}\over{6}}$

$\begin{array}{rcl} \frac{5}{x}+6&=&0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\ \frac{5}{x}&=&-6\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden }6\text{ afgetrokken}}\\ 5&=&-6 \cdot x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide zijden vermenigvuldigd met }x}\\ x&=&\displaystyle -{{5}\over{6}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gedeeld door }-6 \text{ en vereenvoudigd}} \end{array}$

Nieuw voorbeeld