Het begrip functie

Functies: Inleiding tot functies

Het begrip functie

Functies

Een (reële) functie wijst aan een reëel getal één reëel getal toe.

Als we zeggen dat $f$ de functie $x^2$ is, dan bedoelen we dat het functievoorschrift van deze functie $f(x)=x^2$ is. Het linker lid van deze gelijkheid geeft de waarde van $f$ in $x$ aan; het rechter lid geeft die waarde expliciet aan. Vullen we $x=2$ in, dan krijgen we $f(2)=4$ , wat betekent dat de functie $f$ aan $2$ de waarde $4$ toekent.

In plaats van het functievoorschrift $f(x)=x^2$ schrijven we ook wel de formule $y=x^2$ op. Het reële getal $y$ dat door de functie $f$ aan een getal $x$ wordt toegewezen heet de waarde van de functie $f$ in $x$ (spreek uit: $f$ van $x$ ) of de functiewaarde in $x$ . Deze waarde wordt ook wel het beeld van $x$ onder $f$ genoemd.

De verzameling reële getallen die ingevuld kunnen worden in de functie noemen we het domein van de functie. Het domein van de functie $g$ met functievoorschrift $g(x)=\frac{1}{x}$ kan niet het getal $0$ bevatten; er kan immers niet gedeeld worden door $0$ . We zeggen dan dat $g$ niet gedefinieerd is in $0$ .

We noemen $x$ (het argument) de onafhankelijke variabele en $y$ de afhankelijke variabele.

Andere variabelen kunnen ook voorkomen in het functievoorschrift. Bijvoorbeeld: $f(x)=a\cdot x^2+t$ . Hierbij spelen $a$ en $t$ de rol van constanten; deze variabelen heten parameters.

Het functievoorschrift is dus de uitdrukking die ons vertelt hoe we de waarde $f(x)$ moeten uitrekenen voor elke waarde van $x$ in het domein. Zo is $f(2)$ de waarde van $f$ in $2$ , maar niet het functievoorschrift.

De keuze van deze specifieke namen van de variabelen $x$ en $y$ is een gewoonte waarvan afgeweken kan worden wanneer we maar willen. Het is gebruikelijk dat goed aan te geven. Bijvoorbeeld door niet zomaar een uitdrukking als $a\cdot x^2+t$ op te schrijven, maar te spreken van de functie $a\cdot x^2+t$ van $a$ (of van $x$ , of van $t$ ). We schrijven dan dus liever $f(a)=a\cdot x^2+t$ (respectievelijk $f(x)=a\cdot x^2+t$ of $f(t)=a\cdot x^2+t$ ). De andere variabelen, in dit voorbeeld $x$ en $t$ , worden parameters genoemd om het onderscheid te maken tussen het argument $a$ van de functie $f$ en de andere variabelen die in het functievoorschrift voorkomen. De parameters fungeren in deze functie dus als constanten.

Vaak praten we over $x^2+x+1$ als een functie. Dan wordt de functie bedoeld die door het functievoorschrift bepaald is.

Als $f$ een reële functie is, gegeven door een functievoorschrift $f(x)$ , dan spreken we vaak van het domein van $f$ als we het grootst mogelijke domein in $\mathbb{R}$ voor $f$ bedoelen, dat wil zeggen: de verzameling van alle reële $x$ waarin $f(x)$ gedefinieerd is.

Bekijk de reële functie $f$ die aan $x$ het element $-7\cdot x^2$ aanwijst. De functie wordt dus beschreven door $f(x)=-7\cdot x^2$ .

Wat is de waarde van $f$ in $7$ ?

$f(7) = -343$

De functiewaarde in $7$ is $-7 \cdot \left(7\right)^2$ , ofwel $-343$ .

Ook in $-7$ is de waarde van $f$ gelijk aan $-343$ .

Nieuw voorbeeld