Partiële afgeleiden van de eerste orde

Multivariate functies: Partiële afgeleiden

Partiële afgeleiden van de eerste orde

Je kunt bij een bivariate functie $f(x,y)$ één van de twee variabelen, zeg $y$ , constant houden. Je krijgt dan een functie die alleen $x$ als variabele heeft. We bestuderen de afgeleide van deze functie van $x$ .

De (eerste orde) partiële afgeleiden van de bivariate functie $f(x,y)$ zijn de functies $\frac{\partial f}{\partial x}$ en $\frac{\partial f}{\partial y}$ gedefinieerd door $\begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x}\!(x,y) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}\!(x,y) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\end{array}$

De volgende vier notaties voor de partiële afgeleide naar $x$ worden vaak gebruikt: $\frac{\partial f}{\partial x}\!(x,y)\text{,}\quad \frac{\partial }{\partial x}\!f(x,y)\text{,}\quad f_x(x,y)\text{,}\quad\text{en}\quad f'_x(x,y)$ Evenzo voor de partiële afgeleide naar $y$ : $\frac{\partial f}{\partial y}\!(x,y)\text{,}\quad \frac{\partial }{\partial y}\!f(x,y)\text{,}\quad f_y(x,y)\text{,}\quad\text{en}\quad f'_y(x,y)$

Wanneer we de partiële afgeleide van de functie $f(x,y)$ in een bepaald punt $\rv{a,b}$ willen hebben, dan gebruiken we ook de volgende notatie $\frac{\partial f}{\partial x}\!\Biggl|_{\rv{a,b}} \text{ in plaats van }\frac{\partial f}{\partial x}\!(a,b)$ en $\frac{\partial f}{\partial y}\!\Biggl|_{\rv{a,b}} \text{ in plaats van }\frac{\partial f}{\partial y}\!(a,b)$ Een andere gebruikelijk notatie is in dit geval $f_x(a,b)$ en $f_y(a,b)$ .

Het bestaan en veel eigenschappen van de partiële afgeleiden zijn niet anders dan die van afgeleiden in een enkele variabele.

We formuleren de definities voor functies van twee variabelen, maar het zal duidelijk zijn hoe ze voor meer dan twee variabelen gedefinieerd kunnen worden.

De woorden "eerste orde" zijn alleen van belang als we hogere partiële afgeleiden bespreken en laten we meestal weg.

Waarom schrijven we niet $\frac{\dd f}{\dd x}$ in plaats van $\frac{\partial f}{\partial x}$ ? Omdat we de notatie ook willen gebruiken in het geval dat $x$ en $y$ functies van twee variabelen, zeg $s$ en $t$ zijn, in welk geval $\frac{\dd f}{\dd t}$ en $\frac{\partial f}{\partial t}$ verschillende betekenis hebben. We komen hier later op terug.

Rekenregels voor partiële afgeleiden De rekenregels voor afgeleiden van functies van één variabele zijn toepasbaar bij partiële afgeleiden. We behandelen hier de constante factorregel en de som-, product- en quotiëntregel.

Partiële afgeleide naar $x$ : $\begin{array}{rclcl} \frac{\partial }{\partial x}\!(c\cdot f)&=& c\cdot \frac{\partial f}{\partial x}\quad \text{voor constante }c&\phantom{x}&\color{blue}{\text{constante factorregel}}\\ \\ \frac{\partial }{\partial x}\!(f+ g)&=& \frac{\partial f}{\partial x}+ \frac{\partial g}{\partial x}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{somregel}}\\ \\ \frac{\partial }{\partial x}\!(f\cdot g) &=& \frac{\partial f}{\partial x}\cdot g + f\cdot \frac{\partial g}{\partial x}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{productregel}}\\ \\ \frac{\partial }{\partial x}\!\!\left(\frac{f}{g}\right) &=& \frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\cdot g - f\cdot \frac{\partial g}{\partial x}}{g^2}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{quotiëntregel}}\end{array}$ Partiële afgeleide naar $y$ : zelfde regels, met $x$ vervangen door $y$ .

De kettingregel wordt later besproken.

Voor functies van meer dan twee variabelen kunnen de partiële afgeleiden op soortgelijke manier gedefinieerd worden.

Bereken de partiële afgeleide van $6x^9\cdot y$ naar $x$ .

$\frac{\partial}{\partial x}\!(6x^9\cdot y)={}$ $54x^8\cdot y$

We beschouwen $y$ als parameter en $x$ als onafhankelijke variabele. Dus $6y$ is constant.

Het resterende stukje van de formule hangt van $x$ af: het is $x^9$ . De afgeleide naar $x$ hiervan is $9 \cdot x^{9-1}=9 x^8$ .

Het eindresultaat is het product van de twee tussenresultaten: $\frac{\partial}{\partial x}\!(6x^9\cdot y)=6y\cdot 9 x^8=54x^8\cdot y\tiny.$

Nieuw voorbeeld