Rectas perpendiculares

Geometría: Rectas

Rectas perpendiculares

Ya hemos visto que dos rectas perpendiculares forman un ángulo de $90^\circ$ o $\frac{\pi}{2}$ radianes. Esto da una relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares.

Para dos rectas $\blue k$ y $\green l$ con pendientes $a_{\blue k}$ y $a_{\green l}$ tenemos:

$\begin{array}{c} a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1 \\ \text{ si y solo si }\\ \text{la recta }\blue k \text{ y la recta } \green l \text{ son perpendiculares}\end{array}$

Esto significa que siempre que $a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1$ las rectas son perpendiculares.

Además, si las rectas $\blue k$ y $\green l$ son perpendiculares, $a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1$ .

Dada una recta $k$ y un punto $P$ podemos usar esto para determinar una recta $l$ perpendicular a $k$ que pasa por $P$ .

Determinación de la recta perpendicular

	Paso a paso	Ejemplo
	Determinamos la recta perpendicular $\green l$ a una recta $\blue k$ que pasa por un punto $P$ .	$\blue k: y=3x+5$ $P=\rv{3,2}$
Paso 1	Determina la pendiente de la recta $\blue k$ .	$a_{\blue k}=3$
Paso 2	Determina la pendiente de la recta $\green l$ usando la regla $a_{\blue k} \cdot a_{\green l}=-1$ .	$a_{\green l}=-\frac{1}{3}$
Paso 3	La ecuación de la recta $\green l$ es de la siguiente forma $y=a_{\green l} \cdot x+b$	$\green l: y=-\frac{1}{3}x+b$
Paso 4	Determina $b$ al sustituir las coordenadas del punto $P$ y resolver la ecuación resultante.	$b=3$
Paso 5	Sustituye $b$ en la ecuación del paso 3.	$\green l: y=-\frac{1}{3}x+3$

En la gráfica aparecen las rectas $l$ y $k$ del ejemplo. Vemos que efectivamente son perpendiculares y que la recta $l$ pasa por $P=\rv{3,2}$ .

Determina la ecuación de una recta $l$ perpendicular a la recta $k: y={{5}\over{8}}-{{x}\over{8}}$ que pasa por el punto $P=\rv{1, 2}$ .

$l:$ $y=8\cdot x-6$

Paso 1	Determinamos la pendiente de la recta $k: y={{5}\over{8}}-{{x}\over{8}}$ . Esto es igual a $-{{1}\over{8}}$ .
Paso 2	Ahora determinamos la pendiente de la recta $l$ con la regla: $a_k \cdot a_l=-1$ . Esto se realiza de la siguiente manera: $\begin{array}{rcl}-{{1}\over{8}} \cdot a_l=-1 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{regla de las rectas perpendiculares con }a_k=-{{1}\over{8}}} \\ a_l=\frac{-1}{-{{1}\over{8}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados se dividieron entre }-{{1}\over{8}}} \\ a_l=8 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}} \end{array}$
Paso 3	La recta $l$ es de la siguiente forma: $y=8 \cdot x+b$ .
Paso 4	Sustituimos el punto $P$ para determinar $b$ . Esto nos da la ecuación $2=8 \cdot 1+b$ Resolvemos esta ecuación lineal para $b$ y hallamos $b=-6$ .
Paso 5	Sustituimos $b$ que encontramos en la ecuación del paso $3$ . Esto nos da: $l: y=8\cdot x-6$

Ten en cuenta si has escrito la recta $l$ en una forma diferente que también es correcta, siempre que la pendiente de la recta sea igual a $8$ y la recta pase por el punto $P=\rv{1, 2}$ .

Nuevo ejemplo

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