Carré d'une somme ou d'une différence

Algèbre: Produits remarquables

Carré d'une somme ou d'une différence

Des produits remarquables sont des cas particuliers de la distributivité double. Ils sont utilisés de façon régulière et prennent ainsi une place particulière.

Carré d'une somme

Pour le carré d'une somme, nous avons: \[(\blue a+\green b)^2=\blue a^2+2\blue a \green b+\green b^2\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}+\green{3})^2 &=& \blue{x}^2 + 2 \blue{x}\cdot \green{3} + \green{3}^2 \\ &=& x^2 + 6 x + 9 \end{array}\]

La formule de la somme découle directement de la distributivité double: \[\begin{array}{rclcl}\left(\blue a+\green b\right)^2&=&\left(\blue a+\green b\right)\left(\blue a+\green b\right) &\phantom{x}&\blue{\text{du carré au produit}}\\&=& \blue a^2+{\blue a}{\green b}+{\green b}{\blue a}+\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{développement des parenthèses}}\\&=& \blue a^2+2\blue a \green b+\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{addition des termes semblables}}\end{array}\]

Carré d'une différence

Pour le carré d'une différence, nous avons: \[(\blue a-\green b)^2=\blue a^2-2\blue a \green b+\green b^2\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}-\green{3})^2 &=& \blue{x}^2 - 2 \blue{x}\cdot \green{3} + \green{3}^2 \\ &=& x^2 - 6 x + 9 \end{array}\]

De même, la formule de la différence peut être en déduite directement de la distributivité double:

\[\begin{array}{rclcl}\left(\blue a-\green b\right)^2&=&\left(\blue a-\green b\right)\left(\blue a-\green b\right) &\phantom{x}&\blue{\text{du carré au produit }}\\&=& \blue a^2-{\blue a}{\green b}-{\green b}{\blue a}+(-\green b)^2&\phantom{x}&\blue{\text{développement des parenthèses }}\\&=& \blue a^2-2\blue a \green b+\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{addition des termes semblables et }(-1)^2=1}\end{array}\]

On peut également en déduire la formule de la différence de la formule de la somme en remplaçant \(\green b\) par \(-\green b\). Dans les solutions élaborées des exercies nous le ferons régulièrement.

Développez et réduisez: \((-x-5)^2\)

#(-x-5)^2=x^2+10x+25#

#\begin{array}
{rclcl}(-x-5)^2&=&(-x)^2 - 2\cdot (-x)\cdot 5+5^2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{carré d'une différence}}\\
&=&x^2+10x+25\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}}
\end {array}#

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