Funciones trigonométricas inversas

Trigonometría: Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas

. Por lo tanto, si queremos resolver la ecuación $\sin(x)=\tfrac{1}{2}$ , encontraremos infinitas soluciones. Ahora restringiremos el dominio de las funciones para que podamos definir una función inversa. Esta función inversa puede ayudarnos a resolver ecuaciones.

Función inversa seno, coseno y tangente

Definimos las funciones inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente manera:

$\begin{array}{rcl} \blue x=\arcsin(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\sin(\blue x) \;\text{ y }\; -\frac{\pi}{2} \leq \blue x \leq \frac{\pi}{2} \\ \\ \blue x=\arccos(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\cos(\blue x) \;\text{ y }\; 0 \leq \blue x \leq \pi \\ \\ \blue x=\arctan(\green y) &\Leftrightarrow& \green y=\tan(\blue x) \;\text{ y }\; -\frac{\pi}{2} \lt \blue x \lt \frac{\pi}{2}\end{array}$

Ejemplo

$\arcsin\left(\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) = \blue{\frac{\pi}{4}}$

porque

$\sin\left(\blue{\frac{\pi}{4}}\right)=\green{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ y $-\frac{\pi}{2} \leq \blue{\frac{\pi}{4}} \leq \frac{\pi}{2}$

Calculadora

En tu calculadora, los botones $\arcsin$ , $\arccos$ y $\arctan$ a menudo se les llama $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ y $\tan^{-1}$ . $\frac{1}{\sin(x)}=\csc(x)$ (cosecante), $\frac{1}{\cos(x)}=\sec(x)$ (secante) y $\frac{1}{\tan(x)}$ .

Propiedades del arcoseno, arcocoseno y arcotangente

La función $f(x)=\arcsin(x)$ posee

dominio: $\ivcc{-1}{1}$
rango: $\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$

La gráfica es la reflexión de $f(x)=\sin(x)$ en el dominio $\ivcc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ a través de la recta $y=x$ .

Plaatje

La función $f(x)=\arccos(x)$ posee

dominio: $\ivcc{-1}{1}$
rango: $\ivcc{0}{\pi}$

La gráfica es la reflexión de $f(x)=\cos(x)$ en el dominio $\ivcc{0}{\pi}$ a través de la recta $y=x$ .

plaatje

La función $f(x)=\arctan(x)$ posee

dominio: todos los valores de $x$
rango: $\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$

Las asíntotas horizontales de la gráfica son $y=-\frac{\pi}{2}$ y $y=\frac{\pi}{2}$ y la gráfica es la reflexión de $f(x)=\tan(x)$ en el dominio $\ivoo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ a través de la recta $y=x$ .

plaatje

Enlazar arcoseno y arcocoseno

Cuando observamos bien las gráficas de $f(x)=\arcsin(x)$ y $f(x)=\arccos(x)$ , veremos:

$\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2}-\arcsin(x) \text{ for } -1\le x\le 1$

Esto es porque $f(x)=\sin(x)$ y $f(x)=\cos(x)$ comparten la misma gráfica, solo desplazado por $\frac{\pi}{2}$ .

Determina $\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ en radianes.

$\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=$ $\dfrac{\pi}{3}$

Porque, $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ y $-\dfrac{\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{3}\leq\dfrac{\pi}{2}$ .

Nuevo ejemplo

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