De tweede afgeleide

Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden

De tweede afgeleide

De afgeleide $f'$ van een functie $f$ kun je nog een keer afleiden. Dit noemen we de tweede afgeleide van $f$ .

Voor een functie $\blue{f(x)}$ noteren we de tweede afgeleide met:

$\green{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\orange{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \orange{f'(x)}&\orange{=}&\orange{6x}\\\green{f''(x)}&\green{=}&\green{6}\end{array}$

De tweede afgeleide is nuttig als we zoeken naar extreme waarden. We zagen eerder dat de voorwaarde dat $f'(c)=0$ niet direct betekent dat $f(x)$ een extreme waarde heeft in $c$ . De volgende stelling zal ons helpen met bepalen of een dergelijk nulpunt van $f'(x)$ een extreme waarde is of niet.

Als voor een functie $\blue{f(x)}$ en een punt $x=\purple{c}$ geldt dat

$\orange{f'(}\purple{c}\orange{)}=0$
$\green{f''(}\purple{c}\green{)}\neq 0$ ,

dan heeft $\blue{f(x)}$ een extreme waarde in $\purple{c}$ .

Als $\green{f''(}\purple{c}\green{)}>0$ is dit een lokaal minimum, als $\green{f''(}\purple{c}\green{)}<0$ is dit een lokaal maximum.

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\ \orange{f'(x)}&=&\orange{4x+1}\\ \green{f''(x)}&=&\green{4}\\ \orange{f'(}\purple{-\frac{1}{4}}\orange{)}&=&0\\ \green{f''(}\purple{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&4\neq 0\end{array}$

In het voorbeeld is $\blue{f(}\purple{-\frac{1}{4}}\blue{)}=\frac{3}{8}$ een lokaal minimum van $\blue{f(x)=2x^2+x}$ .

Deze stelling gaat niet op als $\purple{c}$ een grenswaarde is van het domein waarop $\blue{f(x)}$ gedefinieerd is.

Het stappenplan waar we gebruik van maakten voor het vinden van extreme waarde van een functie $f(x)$ , en het bepalen van of dit lokale minima of maxima zijn, wordt nu aanzienlijk makkelijker. Stap $3$ kunnen we nu namelijk vervangen door het berekenen van de tweede afgeleide en bepalen of de gevonden nulpunten van $f'(x)$ invullen in die tweede afgeleide een negatieve waarde, een positieve waarde, of $0$ geeft.

Bereken $f''(x)$ voor $f(x)=5\cdot x^3+2\cdot x^2-5$ .

Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

$f''(x)=$ $30\cdot x+4$

We berekenen eerst de eerste afgeleide met behulp van de machtregel.
$f'(x)=15\cdot x^2+4\cdot x$
Vervolgens berekenen we op dezelfde wijze de tweede afgeleide.
$f''(x)=30\cdot x+4$

Nieuw voorbeeld