Integración: Técnicas de integración
Integrales trigonométricas
Usando el método de sustitución, también podemos resolver integrales trigonométricas.
Este video explica cómo utilizar el método de sustitución para resolver la integral trigonométrica #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x#, donde #\blue{m} # y #\orange{n} # son números enteros no negativos.
El video solo está disponible en inglés.
La voz en el vídeo está generada por IA y no es una voz humana.
A menudo usamos las siguientes identidades trigonométricas.
\[\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \]
\[\cos(x)^2 = \frac{\cos(2x)+1}{2}\]
\[\sin(x)^2 = \frac{1-\cos(2x)}{2}\]
#\int \cos(5\cdot y)^4\cdot \sin(5\cdot y) \,\dd y=# #-{{\cos(5\cdot y)^5}\over{25}} + C#
Aplicamos el método de sustitución con #g(y)=-{{y^4}\over{5}}# y #h(y)=\cos(5\cdot y)#, porque en ese caso se aplica #g(h(y)) \cdot h'(y)=\cos(5\cdot y)^4\cdot \sin(5\cdot y)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(5\cdot y)^4\cdot \sin(5\cdot y) \,\dd y&=& \displaystyle \int -{{\cos(5\cdot y)^4}\over{5}} \cdot -5\cdot \sin(5\cdot y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \\
\text{ con } h'(y)=-5\cdot \sin(5\cdot y)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-{{\cos(5\cdot y)^4}\over{5}} \right) \, \dd(\cos(5\cdot y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^4}\over{5}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(5\cdot y)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^5}\over{25}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(5\cdot y)^5}\over{25}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(5\cdot y)}
\end{array}\]
Aplicamos el método de sustitución con #g(y)=-{{y^4}\over{5}}# y #h(y)=\cos(5\cdot y)#, porque en ese caso se aplica #g(h(y)) \cdot h'(y)=\cos(5\cdot y)^4\cdot \sin(5\cdot y)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(5\cdot y)^4\cdot \sin(5\cdot y) \,\dd y&=& \displaystyle \int -{{\cos(5\cdot y)^4}\over{5}} \cdot -5\cdot \sin(5\cdot y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \\
\text{ con } h'(y)=-5\cdot \sin(5\cdot y)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-{{\cos(5\cdot y)^4}\over{5}} \right) \, \dd(\cos(5\cdot y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^4}\over{5}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(5\cdot y)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^5}\over{25}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(5\cdot y)^5}\over{25}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(5\cdot y)}
\end{array}\]
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