División larga con polinomios

Funciones: Funciones fraccionarias

División larga con polinomios

Si el grado del numerador de una función cociente es mayor o igual que el grado del denominador, podemos escribir la función cociente como la suma de un cociente y un resto. El cociente es un polinomio y el resto es a su vez una función cociente.

Cada función de la forma

$f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}$

donde $\blue p$ y $\orange q$ son polinomios y $\text{grado }\blue{p(x)} \geq \text{grado } \orange{q(x)}$ ,
se puede reescribir usando la división larga de la forma

$f(x) = \green{s(x)}+\frac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}$

donde $\green s$ es un polinomio y $\text{grado }\purple{r(x)} < \text{grado }\orange{q(x)}$ .

Ejemplo

$f(x) = \frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}}$

nos da

$f(x) = \green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}}$

El resto es cero

Si el resto $\purple{r(x)}$ es cero, la función cociente $f(x)$ se ha simplificado al polinomio $\green{s(x)}$ . Pero tenga en cuenta que el dominio de $f(x)$ contiene todos los $x$ para los que $\orange{q(x)} \neq 0$ , mientras que el dominio de $\green{s(x)}$ contiene todos los números $x$ . Solo podemos decir que $f(x) = \green{s(x)}$ si añadimos la restricción de que $\orange{q(x)} \neq 0$ .

Usamos la siguiente guía paso a paso para la división de polinomios usando la división larga.

División larga

	Paso a paso	Ejemplo
	Para la función cociente usamos la división larga $f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}$	$f(x)=\frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}}$
Paso 1	Forma la división larga de la siguiente manera: $\require{enclose} \begin{array}{l} \orange{q(x)} \enclose{longdiv}{\blue{p(x)}} \end{array}$	$\require{enclose} \begin{array}{l} \orange{x+1} \enclose{longdiv}{\blue{2x^2+5x+5}} \end{array}$
Paso 2	Ahora encuentra una $\green{\text{expresión}}$ tal que si se multiplica por $\orange{q(x)}$ , el término de mayor grado es igual al término de mayor grado de $\blue{p(x)}$ . En el ejemplo de la derecha, elegimos $\green{2x}$ porque $\green{2x} \cdot (\orange{x+1})$ es igual a $2x^2+2x$ . Ponemos este término $\green{2x}$ por encima de la recta en la división larga. Ahora resta la expresión obtenida de $\blue{p(x)}$ para obtener una expresión $\purple{r(x)}$ . En el ejemplo, encontramos $\purple{3x+5}$ . Repite este proceso hasta que $\text{grado }\purple{r(x)} < \text{grado }\orange{q(x)}$ .	$\require{enclose} \begin{array}{l} \phantom{x+1\hspace{0.5em}} \green{2x+3} \\ \orange{x+1} \enclose{longdiv}{\blue{2x^2+5x+5}} \\ \phantom{x+1\hspace{0.5em}} \underline{2x^2+2x} \;\underline{\;} \\ \phantom{x+1\hspace{1.8em}2x^2} {\purple{3x+5}}\\ \phantom{x+1\hspace{1.8em}2x^2} \underline{3x+3}\;\underline{\;}\\ \phantom{x+1\hspace{4.1em}2x^2}\purple{2} \end{array}$
Paso 3	Ahora se deduce que $\begin{array}{rcl} f(x) &=& \dfrac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}} \\ &=&\green{s(x)}+\dfrac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}\end{array}$	$\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \\ &=&\green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}} \end{array}$

Usa la división larga para escribir la función.

$f(x)=\frac{2x+5}{x+7}$

en la forma

$f(x)=s+\frac{r}{ax+b}$

donde $a, b,r$ y $s$ son constantes.

$f(x) = \;$ ${2} + \dfrac{{-9}}{{x+7}}$

Paso 1

Primero componemos la división larga: $\require{enclose} \begin{array}{l} {x+7} \enclose{longdiv}{{2x+5}} \end{array}$

Paso 2

La división larga da

$\require{enclose} \begin{array}{l} \phantom{x+7\hspace{0.5em}} {2} \\ {x+7} \enclose{longdiv}{{2x+5\phantom{\;}}} \\ \phantom{x+7\hspace{0.5em}} \underline{2 x+14} \;\underline{\phantom{\;}} \\ \phantom{x+7\hspace{0.5em}ax\:\:}{-9} \end{array}$

Paso 3

De acuerdo con la teoría, ahora se deduce que

$\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{{2x+5}}{{x+7}} \\ &=&{2} + \dfrac{{-9}}{{x+7}} \end{array}$

Nuevo ejemplo

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