División larga con polinomios

Funciones: Funciones fraccionarias

División larga con polinomios

Si el grado del numerador de una función cociente es mayor o igual que el grado del denominador, podemos escribir la función cociente como la suma de un cociente y un resto. El cociente es un polinomio y el resto es a su vez una función cociente.

Cada función de la forma

\[f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}\]

donde #\blue p# y #\orange q# son polinomios y #\text{grado }\blue{p(x)} \geq \text{grado } \orange{q(x)}#,
se puede reescribir usando la división larga de la forma

\[f(x) = \green{s(x)}+\frac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}\]

donde #\green s# es un polinomio y #\text{grado }\purple{r(x)} < \text{grado }\orange{q(x)}#.

Ejemplo

\[ f(x) = \frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \]

nos da

\[f(x) = \green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}}\]

El resto es cero

Si el resto #\purple{r(x)}# es cero, la función cociente #f(x)# se ha simplificado al polinomio #\green{s(x)}#. Pero tenga en cuenta que el dominio de #f(x)# contiene todos los #x# para los que #\orange{q(x)} \neq 0#, mientras que el dominio de #\green{s(x)}# contiene todos los números #x#. Solo podemos decir que #f(x) = \green{s(x)}# si añadimos la restricción de que #\orange{q(x)} \neq 0#.

Usamos la siguiente guía paso a paso para la división de polinomios usando la división larga.

División larga

	Paso a paso	Ejemplo
	Para la función cociente usamos la división larga \[f(x)=\frac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}}\]	\[f(x)=\frac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}}\]
Paso 1	Forma la división larga de la siguiente manera: #\require{enclose} \begin{array}{l} \orange{q(x)} \enclose{longdiv}{\blue{p(x)}} \end{array}#	\[ \require{enclose} \begin{array}{l} \orange{x+1} \enclose{longdiv}{\blue{2x^2+5x+5}} \end{array}\]
Paso 2	Ahora encuentra una #\green{\text{expresión}}# tal que si se multiplica por #\orange{q(x)}#, el término de mayor grado es igual al término de mayor grado de #\blue{p(x)}#. En el ejemplo de la derecha, elegimos #\green{2x}# porque #\green{2x} \cdot (\orange{x+1})# es igual a #2x^2+2x#. Ponemos este término #\green{2x}# por encima de la recta en la división larga. Ahora resta la expresión obtenida de #\blue{p(x)}# para obtener una expresión #\purple{r(x)}#. En el ejemplo, encontramos #\purple{3x+5}#. Repite este proceso hasta que #\text{grado }\purple{r(x)} < \text{grado }\orange{q(x)}#.	# \require{enclose} \begin{array}{l} \phantom{x+1\hspace{0.5em}} \green{2x+3} \\ \orange{x+1} \enclose{longdiv}{\blue{2x^2+5x+5}} \\ \phantom{x+1\hspace{0.5em}} \underline{2x^2+2x} \;\underline{\;} \\ \phantom{x+1\hspace{1.8em}2x^2} {\purple{3x+5}}\\ \phantom{x+1\hspace{1.8em}2x^2} \underline{3x+3}\;\underline{\;}\\ \phantom{x+1\hspace{4.1em}2x^2}\purple{2} \end{array}#
Paso 3	Ahora se deduce que \[ \begin{array}{rcl} f(x) &=& \dfrac{\blue{p(x)}}{\orange{q(x)}} \\ &=&\green{s(x)}+\dfrac{\purple{r(x)}}{\orange{q(x)}}\end{array} \]	\[\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{\blue{2x^2+5x+5}}{\orange{x+1}} \\ &=&\green{2x+3} + \dfrac{\purple{2}}{\orange{x+1}} \end{array}\]

Usa la división larga para escribir la función.

\[f(x)=\frac{2x+5}{2x+3}\]

en la forma

\[f(x)=s+\frac{r}{ax+b}\]

donde #a, b,r# y #s# son constantes.

#f(x) = \;##{1} + \dfrac{{2}}{{2x+3}}#

Paso 1

Primero componemos la división larga: \[\require{enclose}
\begin{array}{l}
{2x+3} \enclose{longdiv}{{2x+5}}
\end{array}\]

Paso 2

La división larga da

\[ \require{enclose}
\begin{array}{l}
\phantom{2x+3\hspace{0.5em}} {1} \\
{2x+3} \enclose{longdiv}{{2x+5\phantom{\;}}} \\
\phantom{2x+3\hspace{0.5em}} \underline{2 x+3} \;\underline{\phantom{\;}} \\
\phantom{2x+3\hspace{0.5em}ax\;\;\;\;}{2}
\end{array}\]

Paso 3

De acuerdo con la teoría, ahora se deduce que

\[\begin{array}{rcl} f(x) &=&\dfrac{{2x+5}}{{2x+3}} \\
&=&{1} + \dfrac{{2}}{{2x+3}}
\end{array}\]

Nuevo ejemplo