Simetría en el círculo unitario

Trigonometría: Ángulos con seno, coseno y tangente

Simetría en el círculo unitario

Ya hemos visto que el seno y el coseno se repiten cada $2 \pi$ . Ahora veremos la simetría en el círculo unitario.

Simetría

Podemos encontrar tres tipos de simetría en el círculo unitario, a saber, la reflexión a través del eje $x$ , reflexión a través del eje $y$ , así como la reflexión a través de la recta $y=x$ . Esta simetría nos da las siguientes propiedades para el seno y el coseno.

Reflexión a través de	Seno	Coseno
Eje $x$	$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$	$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
Eje $y$	$\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)$	$\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)$
Recta $y=x$	$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)$	$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin(\alpha)$

Mediante estas propiedades, solo necesitamos conocer los valores del seno y coseno en el primer cuarto del círculo unitario, es decir, los valores de seno y coseno para $0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{4}$ . $0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{2}$ .

Ejemplos

Reflexiones que cruzan el	Seno	Coseno	geogebra
Eje $x$	$\begin{array}{rcl}\sin(\frac{5 \pi}{3})&=&\sin(-\frac{\pi}{3})\\ &=&-\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}$	$\begin{array}{rcl}\cos(\frac{5 \pi}{3})&=&\cos(-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}$
Eje $y$	$\begin{array}{rcl}\sin(\frac{2 \pi}{3})&=&\sin(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}$	$\begin{array}{rcl}\cos(\frac{2 \pi}{3})&=&\cos(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&-\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}$
Recta $y=x$	$\begin{array}{rcl}\sin(\frac{1}{6}\pi)&=&\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}$	$\begin{array}{rcl}\cos(\frac{1}{6}\pi)&=&\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}$

Grados Para ángulos $\alpha$ en grados se aplican las mismas reglas, solo las partes con $\pi$ luego se convierten a los ángulos correspondientes en grados.

Reflexión a través de	Seno	Coseno
Eje $x$	$\sin(360^\circ-\alpha) = -\sin(\alpha)$	$\cos(360^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)$
Eje $y$	$\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)$	$\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)$
Recta $y=x$	$\sin(90^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)$	$\cos(90^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)$

Si conoces los valores del coseno y el seno de los ángulos especiales entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$ , entonces puedes calcular los valores de ángulos especiales entre $\frac{\pi}{2}$ y $2 \pi$ mediante el uso de simetría especular.

Dado el $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . ¿Cuál es el $\cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)$ ?

$\cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Los ángulos dados están relacionados entre sí a través de la reflexión mediante el eje $x$ y el eje $y$ . Por eso

$\cos\left(\frac{7 \pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

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