Simetría en el círculo unitario

Trigonometría: Ángulos con seno, coseno y tangente

Simetría en el círculo unitario

Ya hemos visto que el seno y el coseno se repiten cada #2 \pi#. Ahora veremos la simetría en el círculo unitario.

Simetría

Podemos encontrar tres tipos de simetría en el círculo unitario, a saber, la reflexión a través del eje #x#, reflexión a través del eje #y#, así como la reflexión a través de la recta #y=x#. Esta simetría nos da las siguientes propiedades para el seno y el coseno.

Reflexión a través de	Seno	Coseno
Eje #x#	#\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)#	#\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)#
Eje #y#	#\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)#	#\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)#
Recta #y=x#	#\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)#	#\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin(\alpha)#

Mediante estas propiedades, solo necesitamos conocer los valores del seno y coseno en el primer cuarto del círculo unitario, es decir, los valores de seno y coseno para #0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{4}#. En la práctica, tomamos una parte un poco más grande y observamos específicamente los valores de #0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{2}#.

Ejemplos

Reflexiones que cruzan el	Seno	Coseno	geogebra
Eje #x#	#\begin{array}{rcl}\sin(\frac{5 \pi}{3})&=&\sin(-\frac{\pi}{3})\\ &=&-\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}#	#\begin{array}{rcl}\cos(\frac{5 \pi}{3})&=&\cos(-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}#
Eje #y#	#\begin{array}{rcl}\sin(\frac{2 \pi}{3})&=&\sin(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}#	#\begin{array}{rcl}\cos(\frac{2 \pi}{3})&=&\cos(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&-\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}#
Recta #y=x#	#\begin{array}{rcl}\sin(\frac{1}{6}\pi)&=&\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end{array}#	#\begin{array}{rcl}\cos(\frac{1}{6}\pi)&=&\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end{array}#

Grados Para ángulos #\alpha# en grados se aplican las mismas reglas, solo las partes con #\pi# luego se convierten a los ángulos correspondientes en grados.

Reflexión a través de	Seno	Coseno
Eje #x#	#\sin(360^\circ-\alpha) = -\sin(\alpha)#	#\cos(360^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)#
Eje #y#	#\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)#	#\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)#
Recta #y=x#	#\sin(90^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)#	#\cos(90^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)#

Si conoces los valores del coseno y el seno de los ángulos especiales entre #0# y #\frac{\pi}{2}#, entonces puedes calcular los valores de ángulos especiales entre #\frac{\pi}{2}# y #2 \pi# mediante el uso de simetría especular.

Dado el #\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}#. ¿Cuál es el #\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right)#?

#\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}#

Los ángulos dados están relacionados entre sí a través de la reflexión mediante el eje #y#. Por eso \[\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

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