Integral definida

Integración: La integral definida

Integral definida

Imagina que #\orange F# es una función antiderivada de la función #\blue f#. La integral definida de #\blue f# con límite inferior #a# y límite superior #b# se define como:

\[\int_a^b \blue f(x) \; \dd x = \orange F(b) - \orange F(a)\]

En soluciones elaboradas a menudo usamos la notación #\left[\orange F(x)\right]_a^b#. Esta es la forma abreviada de #\orange F(b) - \orange F(a)#.

Ejemplo

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^3 \blue{x^2} \; \dd x &=& \left[\orange{\frac{1}{3}x^3}\right]_0^3\\ &=& \frac{1}{3} \cdot 3^3-\frac{1}{3} \cdot 0^3\\ &=& 9-0 \\ &=&9 \end{array}#

Constante de integración

Dado que tanto #\orange F(b)# como #\orange F(a)# tienen la misma constante de integración #\green C#, para la solución no importa qué valor de #\green C# elijamos. Dado que es más fácil de calcular, a menudo elegimos #\green C=0#.

Reglas de cálculo

Para integrales definidas se aplican las mismas reglas de cálculo que para integrales indefinidas.

Calcula la siguiente integral definida:
\[\int_{-5}^{5} 6 x \,\dd x\]

#0#

Las integrales definidas se calculan con la siguiente fórmula:
\[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x = F(b) - F(a)\]
Por lo tanto, para calcular una integral definida, primero debemos determinar la antiderivada de la función:
\[\begin{array}{rcl}
F(x) &=&\displaystyle \int f(x) \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de la antiderivada}}\\
&=&\displaystyle \int 6 x \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{sustituido }f(x)=6 x \text{ en la ecuación}}\\
&=&6\cdot \displaystyle\int x\,\dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aplicada la regla de multiplicación de constantes: }\displaystyle \int cx^n \; {\dd}x = c\cdot \displaystyle \int x^n\;{\dd}x \text{ con }c=6}\\
&=&6 \left(\displaystyle \cfrac{x^2}{2}+ C\right)\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{aplicada la regla de la potencia inversa:} \int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\cfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \text{ con }n=1}\\
&=&\displaystyle 3 x^2 + C\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}\\
&=&\displaystyle 3 x^2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omitió la constante de integración}}\\
\end{array}\]
Ahora que se conoce la antiderivada, se puede calcular la integral definida:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x&=& F(b) - F(a)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{definición de una integral definida}}\\
\displaystyle \int_{-5}^{5} 6 x \,\dd x&=&\displaystyle \left(3 (5)^ 2\right) - \left(3 (-5)^2\right) \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{se sustituyen los valores límite en la antiderivada}}\\
&=&\displaystyle75-75\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}\\
&=&\displaystyle 0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificado}}
\end{array}\]

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