Geval #\blue{m}# is oneven
In dit geval weten we dat #\blue{m}# oneven is en daarom geldt dat #\blue{m}-1# even is. We zullen nu laten zien waarom in dit geval de subsitutie #\green{h(x)}=\green{\cos(x)}# nuttig is. Merk op dat \[\dd \green{h(x)} = \dd \, \green{\cos(x)} = {-\sin(x)} \, \dd x\] Voor we de subsitutie toepassen, herschrijven we eerst de integraal. \[\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \sin(x)^m\cdot \green{\cos(x)}^n \, \dd x &=& \displaystyle \int \sin(x)^{\blue{m}-1} \cdot \sin(x) \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\sin(x)^{\blue{m}}=\sin(x)^{\blue{m}-1} \cdot \sin(x) \text{gebruikt}} \\
&=& \displaystyle \int \left(1-\green{\cos(x)}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot {\sin(x)} \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{de formule }1=\sin(x)^2+\cos(x)^2 \text{ toegepast}} \\
&=& \displaystyle \int -\left(1-\green{\cos(x)}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \cdot \left(-\sin(x)\right) \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{anders geschreven gebruikmakend van }-1 \cdot -1 =1} \\
&=& \displaystyle \int -\left(1-\green{\cos(x)}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \, \dd \green{\cos(x)} \\
&&\quad \blue{\text{gebruikt dat }\frac{\dd}{\dd x}{\cos(x)}=-\sin(x)} \\
&=& \displaystyle \int - \left(1-\green{u}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot \green{u}^\orange{n} \, \dd \green{u} \\
&&\quad \blue{\text{de substitutie }{u}={\cos(x)} \text{ gebruikt}} \end{array}\] De integraal waar we mee eindigen kunnen we dan berekenen.

Geval #\orange{n}# is oneven
In dit geval weten we dat #\orange{n}# oneven is en daarom geldt dat #\orange{n}-1# even is. We zullen nu laten zien waarom in dit geval de substitutie #\green{h(x)}=\green{\sin(x)}# nuttig is. Merk op dat \[\dd \green{h(x)} = \dd \, \green{\sin(x)} = {\cos(x)} \, \dd x\]Voor we de subsitutie toepassen, herschrijven we eerst de integraal. \[\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \cos(x)^\orange{n} \, \dd x &=& \displaystyle \int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \cos(x)^{\orange{n}-1} \cdot \cos(x) \, \dd x \\
&&\quad \blue{\cos(x)^{n}=\cos(x)^{{n}-1} \cdot \cos(x)\text{ gebruikt}} \\
&=& \displaystyle \int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \left(1-\green{\sin(x)}^2 \right)^{\frac{\orange{n}-1}{2}} \cdot {\cos(x)} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{de formule }1=\sin(x)^2+\cos(x)^2 \text{ toegepast}} \\
&=& \displaystyle \int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \left(1-\green{\sin(x)}^2 \right)^{\frac{\orange{n}-1}{2}} \, \dd \green{\sin(x)} \\
&&\quad \blue{\text{gebruikt dat }\frac{\dd}{\dd x}{\sin(x)}=\cos(x)} \\
&=& \displaystyle \int \green{u}^\blue{m}\cdot \left(1-\green{u}^2\right)^{\frac{n-1}{2}} \, \dd \green{u} \\
&&\quad \ \blue{\text{de substitutie }{u}={\sin(x)} \text{ gebruikt}} \end{array}\] De integraal waar we mee eindigen kunnen we dan berekenen.

Geval #\blue{m}# en #\orange{n}# zijn even
in dit geval weten we dat zowel #\blue{m}# als #\orange{n}# even zijn. We zullen nu laten zien waarom in dit geval de substitutie #\green{h(x)}=\green{2 \cdot x}# nuttig is. Merk op dat \[\dd \green{h(x)} = \dd \, (\green{2 \cdot x}) = {2} \, \dd x\] We zullen de goniometrische formules \[\cos(x)^2 = \frac{1+\cos(2 \cdot x)}{2} \quad \text{en} \quad \sin(x)^2=\frac{1-\cos(2\cdot x)}{2}\] gebruiken. Voor we de subsitutie toepassen, herschrijven we eerst de integraal. \[\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \sin(x)^\blue{m}\cdot \cos(x)^\orange{n} \, \dd x &=& \displaystyle \int \left(\sin(x)^2\right)^\frac{\blue{m}}{2} \cdot \left(\cos(x)^2\right)^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{anders geschreven}} \\
&=&\displaystyle \int \left(\frac{1-\cos(2 \cdot x)}{2}\right)^\frac{\blue{m}}{2} \cdot \left(\frac{1+\cos(2\cdot x)}{2}\right)^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{goniometrische formules toegepast}} \\
&=& \displaystyle \int \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}}} \cdot (1-\cos(2 \cdot x))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(2 \cdot x))^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{anders geschreven}} \\
&=& \displaystyle \int \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}+1}} \cdot (1-\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\orange{n}}{2} \cdot {2} \, \dd x \\
&&\quad \blue{\text{vermenigvuldigd met }1=\frac{1}{2}\cdot 2} \\
&=& \displaystyle \int \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}+1}} \cdot (1-\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd \green{2 \cdot x} \\
&&\quad \blue{\text{gebruikt dat }\frac{\dd}{\dd x}{2 \cdot x}=2} \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}+1}} \cdot\int (1-\cos(\green{u}))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(\green{u}))^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd \green{u} \\
&&\quad \blue{\text{de substitutie }u={2 \cdot x} \text{ toegepast}} \end{array}\] We kunnen deze integraal nu berekenen of we kunnen de regel opnieuw gebruiken waar de keuze van de substitutie afhankelijk is van of #\frac{\blue{m}}{2}# en #\frac{\orange{n}}{2}# even of oneven zijn.