Dubbele haakjes wegwerken

Algebra: Haakjes

Dubbele haakjes wegwerken

We hebben gezien hoe enkele haakjes weggewerkt kunnen worden. Naast enkele haakjes kunnen we ook dubbele haakjes wegwerken. Dit doen we met de zogenoemde bananenformule.

De bananenformule

Om de dubbele haakjes weg te werken, vermenigvuldigen we elke term in het eerste paar haakjes met elke term in het tweede paar haakjes.
\[(\blue a + \green b) \cdot (\purple c + \orange d) = \blue a \cdot \purple c + \blue a \cdot \orange d + \green b \cdot \purple c + \green b \cdot \orange d\]

Example

#\begin{array}{rcl}
(\blue a \green{- 3}) \cdot (\purple b + \orange 2) &=&\blue a \cdot \purple b + \blue a \cdot \orange 2 \green{ -3} \cdot \purple b \green{-3} \cdot \orange 2 \\
& =&\blue a \cdot \purple b + \orange 2 \cdot \blue a \green{ -3} \cdot \purple b -6\\
\end{array}#

Om de dubbele haakjes weg te werken, vermenigvuldigen we elke term in het eerste paar haakjes met elke term in het tweede paar haakjes.

Voorbeeld

Beweeg je muis over de vergelijkingen om de animatie te zien.

Om dubbele haakjes weg te werken, vermenigvuldigen we elke term in het eerste paar haakjes met elke term in het tweede paar.
\[(\blue a + \green b) \cdot (\purple c + \orange d) = \blue a \cdot \purple c + \blue a \cdot \orange d + \green b \cdot \purple c + \green b \cdot \orange d\]

In deze video laten we aan de hand van een drietal voorbeelden zien hoe we enkele en dubbele haakjes uitwerken.

De video is alleen beschikbaar in het Engels.

De stem in de video is door AI gegenereerd en geen menselijke stem.

Verband met enkele haakjes

Zoals de banaanvormige boogjes al aangeven, ontstaat het rechter lid in de bananenformule door tweemaal haakjes uit te werken: \[\begin{array}{rcl}(\blue{a}+\green{b})\cdot(\purple{c}+\orange{d}) &=& \blue{a}\cdot (\purple{c}+\orange{d}) + \green{b}\cdot (\purple{c}+\orange{d})\\ &=& \blue{a}\cdot \purple{c}+\blue{a}\cdot \orange{d} +\green{b}\cdot \purple{c} +\green{b}\cdot \orange{d}\end{array}\] Soms kan het handig zijn een vermenigvuldigingsschema te gebruiken: \[\begin{array}{c|c|c} & \purple{c} & \orange{d}\\ \hline \blue{a} & \blue{a} \cdot\purple{c} & \blue{a}\cdot \orange{d}\\ \hline \green{b} & \green{b} \cdot\purple{c} & \green{b}\cdot \orange{d} \end{array}\] Na het invullen van het schema tel je de vier producten bij elkaar op.

Op dezelfde manier kunnen we ook ingewikkeldere producten uitwerken.

Werk de haakjes weg en vereenvoudig zo ver mogelijk: #\left(x-4\right) \cdot \left(x -7 \right)#.

#x^2-11\cdot x+28#

#\begin{array}{rcl}
\left(x-4\right) \cdot \left(x -7 \right) &=& x \cdot x + x \cdot -7 -4 \cdot x -4 \cdot -7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regel \(\left(a+b\right) \cdot \left(c+d\right) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d\) }}\\
&=& x^2 -7\cdot x -4\cdot x + 28
\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vermenigvuldigd }}\\
&=& x^2-11\cdot x+28
\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}#

Nieuw voorbeeld