Productregel voor differentiëren

Rekenregels voor differentiëren: Rekenregels voor de afgeleide

Productregel voor differentiëren

Laat $f$ en $g$ twee functies zijn.

Product van twee functies

Het product van $f$ en $g$ is de functie die aan $x$ de waarde $f(x)\cdot g(x)$ toevoegt. Deze functie wordt aangegeven met $f\cdot g$ , dus het functievoorschrift is $(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)$ .

Bijvoorbeeld, als $f(x)=x+1$ en $g(x)=x^3+1$ , dan is $f\cdot g$ de functie met functievoorschrift $\left(f\cdot g\right)(x)=f(x)\cdot g(x) = \left(x+1\right)\cdot \left(x^3+1\right) = x^4+x^3+x+1\tiny.$

Productregel voor differentiatie

De afgeleide $(f\cdot g)'$ van het product $f\cdot g$ wordt gegeven door de productformule

$(f\cdot g)' = f' \cdot g + f\cdot g'\tiny.$

Dit betekent $(f\cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$ voor alle $x$ .

Om de regel te bewijzen, herschrijven we differentiequotiënt als volgt:

$\begin{array}{rcl} \text{differentiequotiënt}&=&\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &=& \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\ &=& \frac{(f(x+h)-f(x))g(x)+f(x+h)(g(x+h)-g(x))}{h}\\ &=& \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ \end{array}$

Nu kunnen we de limiet van het differentiequotiënt voor $h\to 0$ berekenen: $\begin{array}{rcl} \left(f\cdot g\right)'(x) &=& \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)+f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ &=&\lim_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)\right)+\lim_{h\to 0}\left(f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \lim_{h\to 0} g(x)+\lim_{h\to 0}f(x+h)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\tiny.\\ \end{array}$

Bepaal de afgeleide van de functie $(x^2+4\cdot x-4)\cdot( x^3+4\cdot x+3)$ .

$5\cdot x^4+16\cdot x^3+38\cdot x-4$

De productregel geeft dat de afgeleide gelijk is aan $\frac{\dd}{\dd x}(x^2+4\cdot x-4)\cdot (x^3+4\cdot x+3) + (x^2+4\cdot x-4)\cdot\frac{\dd}{\dd x} (x^3+4\cdot x+3)\tiny.$ Uitwerking hiervan met behulp van Afgeleide van een veeltermfunctie geeft $(2x+4)\cdot (x^3+4\cdot x+3) + (x^2+4\cdot x-4)\cdot (3x^2+4)$ dat te herschrijven is tot $2\cdot x^4+4\cdot x^3+8\cdot x^2+22\cdot x+12+3\cdot x^4+12\cdot x^3-8\cdot x^2+16\cdot x-16$ en dus gelijk is aan $5\cdot x^4+16\cdot x^3+38\cdot x-4$ .

Het is ook mogelijk om eerst het product van $x^2+4\cdot x-4$ en $x^3+4\cdot x+3$ uit te rekenen: $(x^2+4\cdot x-4)\cdot(x^3+4\cdot x+3) = x^5+4\cdot x^4+19\cdot x^2-4\cdot x-12$ . De afgeleide volgt dan uit Afgeleide van een veeltermfunctie.

Nieuw voorbeeld