Continuïteit

Functies: Inleiding tot functies

Continuïteit

Laat $f$ een reële functie zijn die gedefinieerd is op een open interval rond een punt $a$ .

Als $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) =f(a)$ , dan heet $f$ continu in $a$ . Zo niet, dan heet $f$ discontinu in $a$ .

Als $f$ continu is in elk punt van een open interval $\ivoo{c}{d}$ , dan heet $f$ continu op $\ivoo{c}{d}$ .

Anders gezegd, een functie is continu wanneer de grafiek getekend kan worden zonder je pen van het papier te halen.

Op het moment dat een functie $f(x)$ niet gedefinieerd is in het punt $x$ , dan bestaat de functie niet in dat punt en is de functie discontinu.

Wanneer de grafiek van een functie $f$ een "sprong" vertoont, dan spreken we van een discontinue functie.

We laten een functie zien die bijna overal continu is, maar niet in het punt $0$ . De functie is de Heaviside functie $H$ , gedefinieerd door $H(x) = 0$ als $x\lt0$ en $H(x) = 1$ als $x\gt0$ . De grafiek van deze functie vertoont een sprong in $0$ en is daar dus discontinu.

Bekijk de functie $f$ gegeven door $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 6 x+8&\text{als }x\lt1\\ 8 x^2+6&\text{als }x\geq1\end{cases}$

Is deze functie continu in $1$ ?

Ja

De functie $f$ is linkscontinu in $x=1$ :
$\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\uparrow1}f(x)&=&\lim_{x\uparrow1}( 6x+8)=6+8=14=f(1)\end{array}$
De functie $f$ is rechtscontinu in $x=1$ :
$\begin{array}{rcl}\displaystyle\lim_{x\downarrow1}f(x)&=&\lim_{x\downarrow1} (8 x^2+6)=8+6=14=f(1)\end{array}$
Omdat $f$ in $1$ zowel links- als rechtscontinu is, concluderen we dat de functie continu is in $1$ .

Hieronder staat de grafiek van $f$ . De grafiek maakt geen sprong in $1$ .

Nieuw voorbeeld