Doorsnede en som van lineaire deelruimten

Vectorruimten: Meer over deelruimten

Doorsnede en som van lineaire deelruimten

Omdat lineaire deelruimten speciale verzamelingen zijn, kunnen we de bekende operaties voor verzamelingen toepassen op lineaire deelruimten. De doorsnede van twee lineaire deelruimten levert opnieuw een lineaire deelruimte, maar de vereniging in het algemeen niet. Om toch te kunnen spreken over de kleinste lineaire deelruimte die een tweetal deelruimten bevat, gebruiken we het begrip som.

De som van twee deelverzamelingen $X$ en $Y$ van een vectorruimte $V$ , genoteerd als $X+Y$ , is de verzameling van alle vectoren van de vorm $\vec{x}+\vec{y}$ voor $\vec{x}\in X$ en $\vec{y}\in Y$ .

De vectorruimte $\mathbb{R}^2$ is de som van de $x$ -as en de $y$ -as:

$\mathbb{R}^2 = \{\rv{\lambda,0}\mid \lambda\in \mathbb{R}\}+\{\rv{0,\mu}\mid \mu\in \mathbb{R}\}$

Op dezelfde manier kunnen we verzamelingen van sommen van meer deelverzamelingen aangeven. Zo is $\mathbb{R}^3 = \{\rv{\lambda,0,0}\mid \lambda\in \mathbb{R}\}+\{\rv{0,\mu,0}\mid \mu\in \mathbb{R}\}+\{\rv{0,0,\nu}\mid \nu\in \mathbb{R}\}$

Als de deelverzamelingen lineaire deelruimten zijn, dan is de som ook een lineaire deelruimte:

Laat $U$ en $W$ lineaire deelruimten zijn van een vectorruimte $V$ .

De volgende twee deelverzamelingen van $V$ zijn ook lineaire deelruimten:

De som $U+ W$ is gelijk aan het opspansel $\linspan{U\cup W}$ van $U$ en $W$ . Dit is de kleinste lineaire deelruimte van $V$ die zowel $U$ als $W$ omvat.
De doorsnee $U\cap W$ van $U$ en $W$ is een lineaire deelruimte van $V$ . Dit is de grootste lineaire deelruimte die zowel in $U$ als in $W$ bevat is.

Vanwege de definitie van opspansel is $U+W$ bevat in $\linspan{U\cup W}$ . Anderzijds is $U+W$ een lineaire deelruimte van $V$ :

Elke lineaire combinatie van twee vectoren uit $U+W$ is weer bevat in $U+W$ : als $u_1$ , $u_2\in U$ en $w_1$ , $w_2\in W$ , en $\alpha$ , $\beta$ zijn scalairen, dan is

$\alpha\cdot \left(u_1+w_1\right) +\beta\cdot \left(u_2+w_2 \right) = \left(\alpha\cdot u_1+\beta\cdot u_2\right) +\left(\alpha\cdot w_1 +\beta\cdot+w_2 \right)$

de som van de vector $\alpha\cdot u_1+\beta\cdot u_2$ van $U$ en de vector $\alpha\cdot w_1 +\beta\cdot+w_2$ van $W$ .

Bovendien behoort $0= 0+0$ tot $U+W$ .

Omdat $U+W$ een lineaire deelruimte van $V$ is die $U$ bevat (elk element $u$ van $U$ kan geschreven worden als $u+0\in U+W$ ) en (evenzo) $W$ , moet het $\linspan{U\cup W}$ omvatten. Omdat $U+W$ ook bevat is in $\linspan{U\cup W}$ , vallen de twee deelruimten $U+W$ en $\linspan{U\cup W}$ samen.

Het feit dat de doorsnee $U\cap W$ een lineaire deelruimte is van $V$ is al eerder bewezen. Als er een grotere lineaire deelruimte zou zijn die zowel in $U$ als in $W$ bevat is, dan zou die een vector buiten $U$ of buiten $W$ moeten bevatten, een tegenspraak. Daarom is $U\cap W$ de grootste lineaire deelruimte die zowel in $U$ als in $W$ bevat.

Tegenvoorbeeld

De vereniging $U\cup W$ zelf is geen lineaire deelruimte van $V$ tenzij ze gelijk aan $\{\vec{0}\}$ is. Als we bijvoorbeeld $V = \mathbb{R}^2$ kiezen en $U$ de $x$ -as (de $1$ -dimensionale lineaire deelruimte opgespannen door $\rv{1,0}$ ) en $W$ de $y$ -as (de $1$ -dimensionale lineaire deelruimte opgespannen door $\rv{0,1}$ ) laten zijn, dan is $U\cup W$ niets anders dan de vereniging van die twee assen, terwijl bekend is dat ze samen de hele ruimte $V$ opspannen. Specifiek: de som $\rv{1,1}$ van de vectoren $\rv{1,0}\in U$ en $\rv{0,1}\in W$ behoort niet tot $U\cup W$ .

Hier zijn enkele eenvoudige maar nuttige eigenschappen van som en doorsnee.

Laat $U$ en $W$ lineaire deelruimten van de vectorruimte $V$ zijn.

Als $U\subseteq W$ , dan $\dim{U}\leq\dim{W}$ , waarbij de gelijkheid dan en slechts dan geldt als $U=W$ .
$U\cap W=U\Leftrightarrow U\subseteq W$ .
$U+W=U\Leftrightarrow W\subseteq U$ .

Kies een basis van $U$ .

1. Volgens het Groeicriterium voor onafhankelijkheid kan een basis van $U$ worden aangevuld tot een basis van $W$ . In het bijzonder geldt dus $\dim{U}\le\dim{W}$ . Als $U=W$ , dan spreekt vanzelf dat $\dim{U}=\dim{W}$ .

Stel nu dat $\dim{U}=\dim{W}$ . Dan is de aanvulling van de basis van $U$ tot een basis van $W$ leeg, zodat $W$ opgespannen wordt door de basis van $U$ . Dit betekent dat $W$ samenvalt met $U$ . Hiermee is de eerste uitspraak bewezen.

2. Deze uitspraak geldt zelfs als $U$ en $W$ deelverzamelingen zijn van $V$ . De gelijkheid aan elke van beide zijden betekent immers dat elk element van $U$ ook tot $W$ behoort.

3. Elke vector in $W$ behoort ook tot $U+W$ . Dus als $U+W=U$ , dan behoort elke vector in $W$ tot $U$ ; dit is de betekenis van $W\subseteq U$ . Andersom: als $W\subseteq U$ , dan wordt $U+W$ al opgespannen door $U$ , zodat $U+W = \linspan{U} = U$ .

De distributieve wetten voor drie verzamelingen $T$ , $U$ , $W$ van $V$ luiden

$\begin{array}{rcl}T\cap(U\cup W) &=& (T\cap U)\cup (T\cap W)\\ T\cup(U\cap W) &=& (T\cup U)\cap (T\cup W)\end{array}$

Deze wetten gelden niet in het algemeen als we voor $T$ , $U$ , $W$ lineaire deelruimten van $V$ nemen en $\cup$ vervangen door de som. Bij wijze van voorbeeld nemen we $T=\linspan{\rv{1,1}}$ , $U=\linspan{\rv{1,0}}$ en $W=\linspan{\rv{0,1}}$ in $V = \mathbb{R}^2$ . Dan geldt

$\begin{array}{rclclcl}T\cap(U+ W) &=& T\cap V = T&\ne& \{\vec{0}\} &=&(T\cap U)+ (T\cap W) \\ T+(U\cap W) &=&T+\{\vec{0}\}=T&\ne&V&=&(T+ U)\cap (T+ W)\end{array}$

Later zullen we speciale gevallen tegenkomen, waarin deze wetten wel gelden.

Omdat de doorsnede en som van twee lineaire deelruimten beide opnieuw lineaire deelruimten zijn, hebben ze een basis en een dimensie die we hier zullen bekijken.

Laat $U$ en $W$ lineaire deelruimten zijn van een vectorruimte $V$ met eindige dimensies $\dim{U} = k$ en $\dim{W} = m$ . Laat verder $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r}$ een basis van $U\cap W$ zijn. Vul deze basis aan tot een basis $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s}$ van $U$ , waarbij $s=k-r$ , en ook tot een basis $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_t}$ van $W$ , waarbij $t=m-r$ . Dan is $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s,\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_t}$ een basis van $U+W$ .

In het bijzonder geldt $\dim{U}+\dim{W}=\dim{U+W}+\dim{U\cap W}$

Volgens de definitie van lineair opspansel geldt $\begin{array}{rcl}U+W&=&\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s,\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_t}\\&=&\linspan{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s,\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_t}\end{array}$

Rest nog te bewijzen dat dit stel vectoren lineair onafhankelijk is. Omdat $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s}$ lineair onafhankelijk is (namelijk een basis van $W$ ), hoeven we volgens het groeicriterium alleen maar aan te tonen dat elke $\vec{c}_j$ lineair onafhankelijk is van $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s,\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_{j-1}}$ . Zo niet, dan zijn er scalairen $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ , $\mu_1,\ldots,\mu_s$ , $\nu_1,\ldots,\nu_{j-1}$ zo dat $\vec{c}_j=\sum_{i=1}^r\lambda_i\vec{a}_i+\sum_{i=1}^s\mu_i\vec{b}_i+\sum_{i=1}^{j-1}\nu_i\vec{c}_i$ De vector $\vec{c} = \vec{c}_j-\sum_{i=1}^{j-1}\nu_i\vec{c}_i$ behoort dan tot $W$ , is ongelijk aan $\vec{0}$ (want $\basis{\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_j}$ zijn lineair onafhankelijk), en is bevat in $\linspan {\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s} = U$ . Maar dat betekent dat $\vec{c}\in U\cap W$ , zodat, volgens het groeicriterium $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{c}}$ een lineair onafhankelijk stelsel in $U\cap W$ is. Dit spreekt tegen dat $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r}$ een basis van $U\cap W$ is. We concluderen dus dat het stel $\basis{\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_r,\vec{b}_1,\ldots,\vec{b}_s,\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_t}$ lineair onafhankelijk is.

De laatste uitspraak volgt hier direct uit: $\begin{array}{rcl}\dim{U+W}&=&r+s+t\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{het aantal vectoren in de gevonden basis}}\\ &=&k+m-r\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{s=k-r\text{ en }t=m-r}\\&=&\dim{U}+\dim{W}-\dim{U\cap W}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\dim{U} = k\text{, }\dim{W} = m\text{, }\dim{U\cap W} = r}\end{array}$

Voorbeeld Stel $V=\mathbb{R}^3$ , $U=\linspan{\rv{1,0,0},\rv{0,1,0}}$ (het $x,y$ -vlak) en $W=\linspan{\rv{1,0,0},\rv{0,0,1}}$ (het $x,z$ -vlak). Dan geldt $U+W=\mathbb{R}^3$ omdat alle standaardbasisvectoren in de opspannende vectoren van $U$ of $W$ voorkomen. Verder zien we dat $U\cap W$ de $1$ -dimensionale deelruimte $\linspan{\rv{1,0,0}}$ (de $x$ -as) omvat, omdat deze vector in de opspannende verzameling van zowel $U$ als $W$ voorkomt. Om vast te stellen dat $U\cap W$ samenvalt met de $x$ -as gebruiken we de dimensiestelling: $\dim{U\cap W}=\dim{U}+\dim{W} -\dim{U+W}=2+2-3=1$ Uit $\dim{U\cap W}=1$ en $\linspan{\rv{1,0,0}}\subseteq U\cap W$ concluderen we $U\cap W=\linspan{\rv{1,0,0}}$ .

De dimensie van $V$ hoeft niet eindig te zijn. Dit komt omdat het geheel zich afspeelt binnen de lineaire deelruimte $U+W$ , die eindigdimensionaal is. In feite is de dimensie van $U+W$ hoogstens $k+m$ , omdat ze opgespannen wordt door de vereniging van een basis van $U$ en een basis van $W$ .