Driedimensionale orthogonale afbeeldingen

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Classificatie van orthogonale afbeeldingen

Driedimensionale orthogonale afbeeldingen

Voor de studie van driedimensionale orthogonale afbeeldingen maken we gebruik van de $(2\times2)$ -matrices $D_{\varphi} = \matrix{\cos(\varphi)&-\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi)& \cos(\varphi)}$ voor zekere $\varphi$ . Dit zijn de draaiingsmatrices van Tweedimensionale orthogonale afbeeldingen.

Orthogonale afbeeldingen in dimensie 3

Laat $V$ een $3$ -dimensionale inproductruimte zijn en $L:V\to V$ een orthogonale afbeelding.

Als $L$ direct orthogonaal is, dan is ze een draaiing, dat wil zeggen: er is een lijn door de oorsprong waarvan elke vector vast gehouden wordt door $L$ en de beperking van $L$ tot het vlak door de oorsprong loodrecht op die lijn is een draaiing. Er is een orthonormale basis $\alpha$ van $V$ en een hoek $\varphi$ zo dat $L_\alpha = \matrix{1&0\\ 0 & D_{\varphi}}$
Als $L$ gespiegeld orthogonaal is, dan is ze een draaispiegeling, dat wil zeggen: er is een lijn door de oorsprong die eigenruimte van $L$ bij eigenwaarde $-1$ is en de beperking van $L$ tot het vlak door de oorsprong loodrecht op die lijn is een draaiing. Er is een orthonormale basis $\alpha$ van $V$ en een hoek $\varphi$ zo dat $L_\alpha = \matrix{-1&0\\ 0 & D_{\varphi}}$

In beide gevallen heet de lijn een as van de draaiing en het vlak een draaiingsvlak.

Als $L$ niet gelijk is aan $I_V$ of $-I_V$ , dan zijn as en draaiingsvlak uniek.

Elke orthogonale afbeelding $V\to V$ is dus een draaiing of een draaispiegeling. Een draaispiegeling is de samenstelling van een spiegeling en een draaiing in het spiegelvlak.

Laat $V$ een $3$ -dimensionale inproductruimte zijn en $L:V\to V$ een orthogonale afbeelding. Stel dat $\lambda$ een niet–reële eigenwaarde van $L$ is. Dan is de complex geconjugeerde $\overline\lambda$ ervan ook een niet-reële eigenwaarde. Omdat het totale aantal eigenwaarden $3$ is, moet $L$ dus ten minste één reële eigenwaarde hebben. We weten van eigenschap 4 van orthogonale afbeeldingen dat elke reële eigenwaarde van $L$ gelijk is aan $1$ of $-1$ . Als $L$ direct orthogonaal is, dan moet $L$ een eigenwaarde gelijk aan $1=\det(L)$ hebben, en anders (dus als $L$ gespiegeld orthogonaal is) moet $L$ een eigenwaarde gelijk aan $-1=\det(L)$ hebben. Laat $\vec{a}_1$ een genormaliseerde eigenvector van $L$ zijn bij deze eigenwaarde, $\varepsilon = \det(L)$ . Dan is de beperking van $L$ tot $\vec{a}_1^{\perp}$ een direct orthogonale afbeelding (de determinant van deze beperking is immers gelijk aan $1$ ). Er is dus een orthonormale basis $\basis{\vec{a}_2,\vec{a}_3}$ van $\vec{a}_1^{\perp}$ zo dat de matrix van de beperking ten opzichte van deze basis $D_{\varphi}$ is voor een geschikte hoek $\varphi$ . Nu is $\alpha = \basis{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3}$ een orthonormale basis van $V$ zo dat $L_\alpha = \matrix{\varepsilon&0\\ 0 & D_{\varphi}}$

Als $\varepsilon = 1$ , dan is de afbeelding $L$ een draaiing (ook wel rotatie genoemd) met als as het opspansel van de eerste basisvector van $\alpha$ . In alle gevallen behalve de identiteit, is de as de $1$ -dimensionale eigenruimte van $L$ bij eigenwaarde $1$ , dus uniek.

Als $\varepsilon = -1$ , dan is de determinant van $L$ gelijk is aan $-1$ . De afbeelding is een draaispiegeling met als as het opspansel van de eerste basisvector van $\alpha$ . Als $L$ alleen reële eigenwaarden heeft, dan is $L_\alpha$ ofwel gelijk aan de diagonaalmatrix met diagonaal $-1,1,1$ ofwel gelijk aan $-I_3$ . De gevallen van een draaiing om $0$ , respectievelijk, $\pi$ radialen, corresponderen met de twee genoemde matrices met reële eigenwaarden. In alle gevallen behalve de scalarvermenigvuldiging met $-1$ is de as de $1$ -dimensionale eigenruimte van $L$ bij eigenwaarde $-1$ , dus uniek.

Als het spoor van $L$ bekend is, bijvoorbeeld uit een matrix van $L$ ten opzichte van een andere basis, dan is hiermee de rotatiehoek $\varphi$ snel te berekenen door het spoor gelijk te stellen aan $2\cos(\varphi)+1$ als $L$ een draaiing is en aan $2\cos(\varphi)-1$ als $L$ een draaispiegeling is. De gevallen van een draaiing om $0$ , respectievelijk, $\pi$ radialen corresponderen met de twee matrices met reële eigenwaarden als de determinant van $L$ gelijk is aan $1$ .

Om onderscheid te maken tussen draaiingen en draaispiegelingen noemen we $3$ -dimensionale draaiingen (die geen draaispiegeling zijn) ook wel echte draaiingen.

Bepaal of de orthogonale afbeelding $L_A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ bepaald door de $(3\times3)$ -matrix $A={{1}\over{23}}\,\matrix{-13 & -6 & -18 \\ -18 & -3 & 14 \\ -6 & 22 & -3 \\ }$ direct orthogonaal of gespiegeld orthogonaal is.

direct orthogonaal

Een orthogonale afbeelding $L_A$ is direct orthogonaal als $\det (L_A)=1$ en gespiegeld orthogonaal als $\det (L_A)=-1$ . Om het antwoord te vinden bepalen we de determinant van $L_A$ , die gelijk is aan $\det(A)$ . Hiertoe vegen we $A$ tot gereduceerde trapvorm, zoals hieronder aangegeven. Hierbij registreren we in de tweede kolom waarmee elke nieuw verkregen matrix vermenigvuldigd moet worden om de determinant van de vorige matrix te krijgen en houden we in de derde kolom het product van die factoren bij.
$\begin{array}{c|r|r} \text{matrix}&\text{stap}&\text{totaal}\\ \hline \matrix{-{{18}\over{23}} & -{{3}\over{23}} & {{14}\over{23}} \\ -{{13}\over{23}} & -{{6}\over{23}} & -{{18}\over{23}} \\ -{{6}\over{23}} & {{22}\over{23}} & -{{3}\over{23}} \\ } & -1 & -1 \\ \matrix{1 & {{1}\over{6}} & -{{7}\over{9}} \\ -{{13}\over{23}} & -{{6}\over{23}} & -{{18}\over{23}} \\ -{{6}\over{23}} & {{22}\over{23}} & -{{3}\over{23}} \\ } & -{{23}\over{18}} & {{23}\over{18}} \\ \matrix{1 & {{1}\over{6}} & -{{7}\over{9}} \\ 0 & -{{1}\over{6}} & -{{11}\over{9}} \\ -{{6}\over{23}} & {{22}\over{23}} & -{{3}\over{23}} \\ } & 1 & {{23}\over{18}} \\ \matrix{1 & {{1}\over{6}} & -{{7}\over{9}} \\ 0 & -{{1}\over{6}} & -{{11}\over{9}} \\ 0 & 1 & -{{1}\over{3}} \\ } & 1 & {{23}\over{18}} \\ \matrix{1 & {{1}\over{6}} & -{{7}\over{9}} \\ 0 & 1 & -{{1}\over{3}} \\ 0 & -{{1}\over{6}} & -{{11}\over{9}} \\ } & -1 & -{{23}\over{18}} \\ \matrix{1 & 0 & -{{13}\over{18}} \\ 0 & 1 & -{{1}\over{3}} \\ 0 & -{{1}\over{6}} & -{{11}\over{9}} \\ } & 1 & -{{23}\over{18}} \\ \matrix{1 & 0 & -{{13}\over{18}} \\ 0 & 1 & -{{1}\over{3}} \\ 0 & 0 & -{{23}\over{18}} \\ } & 1 & -{{23}\over{18}} \\ \matrix{1 & 0 & -{{13}\over{18}} \\ 0 & 1 & -{{1}\over{3}} \\ 0 & 0 & 1 \\ } & -{{18}\over{23}} & 1 \\ \matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -{{1}\over{3}} \\ 0 & 0 & 1 \\ } & 1 & 1 \\ \matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ } & 1 & 1 \end{array}$ We concluderen dat de determinant van $A$ gelijk is aan $1$ , zodat het antwoord is: direct orthogonaal.

Nieuw voorbeeld