Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices: Matrices
Eenvoudige matrixbewerkingen
Onder bepaalde voorwaarden kunnen we met matrices rekenen. We zullen hier de optelling en de scalaire vermenigvuldiging bespreken. Ook kijken we naar spiegeling om de hoofddiagonaal.
Optelling van matrices
Als \(A\) en \(B\) matrices zijn met dezelfde afmetingen, dan is de sommatrix \(A+B\) de matrix die je krijgt door overeenkomstige elementen bij elkaar op te tellen. De bewerking heet, net als voor getallen, optellen.
Optellen van matrices voldoet aan de volgende twee eigenschappen, waarbij \(A=(a_{ij})\), \(B=(b_{ij})\) en \(C=(c_{ij})\) drie \((m\times n)\)-matrices zijn:
\[
\begin{array}{ll}
A+B=B+A &\phantom{xxx} \color{blue}{\text{commutativiteit}} \\
(A+B)+C=A+(B+C) &\phantom{xxx} \color{blue}{\text{associativiteit}}
\end{array}
\]
Uitgeschreven in coördinaten luidt deze definitie als volgt: Laat \(A\) en \(B\) beide \((m\times n)\)-matrices zijn met elementen \(a_{ij}\), respectievelijk \(b_{ij}\). Definieer voor \(1\leq i\leq m\) en \(1\leq j\leq n\) \[
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
\] De \((m\times n)\)-matrix \(C\) met elementen \(c_{ij}\) is de som van de matrices \(A\) en \(B\).
De associativiteit stelt ons in staat om te spreken over \( A+B+C\) zonder te hoeven specificeren hoe we die matrix bepalen: als \((A+B)+C\) of als \(A+(B+C)\). Er komt toch hetzelfde uit.
Scalaire vermenigvuldiging van een matrix Als \(A\) een matrix is en \(\lambda\) een getal, dan is \(\lambda\cdot A\) of kortweg #\lambda A#, de matrix die je krijgt door alle elementen van \(A\) met \(\lambda\) te vermenigvuldigen. We noemen deze bewerking de scalaire vermenigvuldiging van de scalar #\lambda# met de matrix #A# en het resultaat het scalaire product.
Als #\lambda = -1#, dan schrijven we vaak #-A# in plaats van #-1 A#. Deze matrix heet de tegengestelde matrix van #A#.
Voor scalaire vermenigvuldiging gelden onderstaande rekenregels, waarbij \(A\) en \(B\) matrices zijn van gelijke afmeting, en \(\lambda\) en \(\mu\) scalairen zijn:
\[
\begin{array}{rl}
1\,A\!\!\! & =A \\
(\lambda+\mu)\,A\!\!\! &= \lambda\, A+\mu\, A \\
\lambda\,(A+B)\!\!\! &= \lambda A+\lambda B \\
\lambda(\mu\, A)\!\!\! &= (\lambda\, \mu)\, A
\end{array}
\]
De getransponeerde matrix De getransponeerde van een matrix \(A\), genoteerd als \(A^{\top}\), is de matrix die je krijgt als je \(A\) spiegelt in zijn hoofddiagonaal. Als \(A\) een (\(m\times n\))-matrix is, dan is \(A^{\top}\) dus een (\(n\times m\))-matrix.
Voor matrices \(A\) en \(B\) van gelijke afmeting en elke scalar \(\lambda\) geldt: \[
\begin{array}{rl}
(A+B)^{\top}\!\!\! & = A^{\top}+B^{\top} \\
(\lambda A)^{\top}\!\!\! & = \lambda A^{\top} \\
(A^{\top})^{\top}\!\!\! & =A
\end{array}
\]
Symmetrische en antisymetrische matrices Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde. Een antisymmetrische matrix is een vierkante matrix die tegengesteld is aan zijn getransponeerde.
Anders geformuleerd: een matrix \(A\) is
\[\begin{array}{rrcl}\text{symmetrisch als }&A^{\top}&=&A\\ \text{antisymmetrisch als }&A^{\top}&=&-A\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.