Karakteristieke veelterm van een lineaire afbeelding

Matrixrekening: Matrices en coördinatentransformaties

Karakteristieke veelterm van een lineaire afbeelding

Eerder hebben we gezien dat de determinant van een matrix constant is op de conjugatieklasse van die matrix, zodat de determinant van een lineaire afbeelding $L:V\to V$ goed gedefinieerd is als de determinant van een matrix die $L$ bepaalt. De karakteristieke veelterm heeft dezelfde eigenschap:

Als $V$ een eindigdimensionale vectorruimte is en $L:V\to V$ een lineaire afbeelding, dan hangt de karakteristieke veelterm $p_A(x)$ van de matrix $A = L_\alpha$ niet af van de keuze van de basis $\alpha$ voor $V$ .

We kunnen dus spreken van de karakteristieke veelterm van $L$ . We noteren deze met $p_L(x)$ .

In het bijzonder zijn spoor en determinant van een matrix $A$ die $L$ bepaalt, getallen die niet van de gekozen matrix $A$ afhangen. We kunnen dus van het spoor en de determinant van de lineaire afbeelding $L$ spreken. We schrijven dan ook $\text{tr}(L)$ in plaats van $\text{tr}(A)$ en $\det(L)$ in plaats van $\det(A)$ .

Als $\beta$ een andere basis is, dan zijn $L_{\alpha}$ en $L_{\beta}$ geconjugeerd: de inverteerbare matrix $T = {}_\beta I_\alpha$ voldoet aan $L_\beta = T\, L_\alpha T^{-1}$ , zodat $\begin{array}{rcl}p_{L_\beta}(x)&=&\det(L_\beta-x\cdot I)\\& =&\det\left( T\, L_\alpha T^{-1}-x\cdot I\right) \\& =&\det\left( T\,\left( L_\alpha -x\cdot I\right) \,T^{-1}\right)\\ &=& \det( T)\cdot \det(L_\alpha-x\cdot I)\cdot \det(T^{-1}) \\ &=& \det(L_\alpha-x\cdot I)\cdot \det( T\cdot T^{-1}) \\ &=& \det(L_\alpha-x\cdot I)\\&=&p_{L_\alpha}(x)\end{array}$ Deze berekening toont aan dat $L_{\alpha}$ en $L_{\beta}$ dezelfde karakteristieke veelterm hebben. Volgens Karakteristieke veelterm van een matrix hebben $L_{\alpha}$ en $L_{\beta}$ daarom ook dezelfde determinant en hetzelfde spoor, die immers gelijk zijn aan de constante term respectievelijk $(-1)^{n-1}$ maal de coëfficiënt van $x^{n-1}$ in hun karakteristieke veelterm van graad $n$ .

Voorbeeld Laat $P_2$ de vectorruimte zijn van alle veeltermen van graad hoogstens $2$ en laat $L:P_2\to P_2$ de lineaire afbeelding zijn bepaald door $L(p(x)) = x\cdot\frac{\dd}{\dd x}(p(x))$ De beelden van de elementen van de basis $\alpha = \basis{1,x,x^2}$ zijn $\begin{array}{rcl}L(1)&=&0\\ L(x) &=& x\\ L(x^2) &=& 2x^2\end{array}$ De matrix van $L$ met betrekking tot $\alpha$ is dus de diagonaalmatrix met $0,1,2$ op de diagonaal. De karakteristieke veelterm van $L$ is dus $p_L(x)=-x\cdot (1-x)\cdot (2-x)=-x^3+3x^2+2x$

UniciteitBekijk de matrices $A = \matrix{0&1\\ 0&0}\phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx}B = \matrix{0&0\\ 0&0}$ Beide matrices hebben karakteristieke veelterm $x^2$ . Maar ze zijn niet geconjugeerd, want de conjugatieklasse van de nulmatrix $B$ bestaat alleen uit $B$ zelf en $A\ne B$ . Het is dus niet zo dat de conjugatieklasse van een matrix uniek bepaald is door de karakteristieke veelterm. Met andere woorden, het kan voorkomen dat de karakteristieke veeltermen van twee lineaire afbeeldingen $V\to V$ gelijk zijn, maar dat er geen twee bases voor $V$ te vinden zijn, zodat de matrix van de ene lineaire afbeelding ten opzichte van de ene basis gelijk is aan de matrix van de andere lineaire afbeelding ten opzichte van de andere basis voor $V$ .

Laat $P_2$ de vectorruimte zijn van alle veeltermen van graad hoogstens $2$ in $x$ en laat $L:P_2\to P_2$ de lineaire afbeelding zijn bepaald door $L(p(x)) = (4 x+6)\cdot\frac{\dd}{\dd x}(p(x))$
Bepaal de karakteristieke veelterm van $L$ als functie van $t$ .

$p_L(t)=$ $-t^3+12 t^2-32 t$

De beelden van de elementen van de basis $\alpha = \basis{1,x,x^2}$ zijn $\begin{array}{rcl}L(1)&=&0\\ L(x) &=& 4 x+6\\ L(x^2) &=& 8 x^2+12 x\end{array}$ De matrix van $L$ met betrekking tot $\alpha$ is dus
$L_\alpha = \matrix{0 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \\ }$ De karakteristieke veelterm van $L$ is dus $p_L(t)=\det(L_\alpha-t\cdot I_3) = \left(8-t\right)\cdot \left(t-4\right)\cdot t=-t^3+12 t^2-32 t$

Nieuw voorbeeld