Eigenschappen van orthonormale stelsels

Inproductruimten: Orthonormale stelsels

Eigenschappen van orthonormale stelsels

We bespreken enkele eigenschappen van orthonormale stelsels vectoren.

Laat $V$ een inproductruimte zijn en $\vec{x}$ een vector van $V$ .

Orthonormale stelsels in $V$ zijn lineair onafhankelijk.
Als $\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n}$ een orthonormale basis is van $V$ , dan zijn de coördinaten van $\vec{x}$ ten opzichte van deze basis achtereenvolgens $\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1}, \ldots , \dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n}$ : $\vec{x}=(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n$
De lengte van $\vec{x}$ is gelijk aan de lengte van de coördinaatvector van $\vec{x}$ ten opzichte van het standaardinproduct:
$\norm{\vec{x}}^2 =\left(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1}\right)^2 + \cdots + \left(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n}\right)^2$

1. Stel dat $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ een orthonormaal stelsel is in $V$ . Om de onafhankelijkheid ervan aan te tonen, starten we met de vergelijking $\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n =\vec{0}$ met onbekenden $\lambda_1,\ldots , \lambda_n$ . Door het inproduct van beide zijden van de gelijkheid met de vector $\vec{a}_j$ met $1\leq j\leq n$ te nemen vinden we
$\dotprod{(\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n)}{ \vec{a}_j} =\dotprod{\vec{0}}{\vec{a}_j}=0$ Het linker lid kunnen we als volgt vereenvoudigen:
$\begin{array}{rcl}\dotprod{(\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n)}{ \vec{a}_j}&=&\lambda_1(\dotprod{\vec{a}_1}{\vec{a}_j})+\cdots + \lambda_n(\dotprod{\vec{a}_n}{\vec{a}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct}}\\ &=&\lambda_j (\dotprod{\vec{a}_j}{\vec{a}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{orthogonaliteit van het stelsel}}\\&=&\lambda_j\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{orthonormaliteit van het stelsel}}\end{array}$

De enige oplossing van $\lambda_1 \vec{a}_1 + \cdots + \lambda_n \vec{a}_n=\vec{0}$ is dus $\lambda_j=0$ voor alle $j$ , wat de onafhankelijkheid van $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ aantoont.

2. Omdat $\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n$ een basis is van $V$ , zijn er scalairen $\mu_1 , \ldots ,\mu_n$ zodat $\vec{x}=\mu_1 \vec{a}_1 +\cdots + \mu_n \vec{a}_n$ . Om $\mu_j$ te bepalen, nemen we weer van linker en rechter zijde van deze gelijkheid het inproduct met $\vec{a}_j$ :
$\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_j}=\dotprod{(\mu_1 \vec{a}_1 +\cdots + \mu_n \vec{a}_n)}{\vec{a}_j}$ Na uitwerking van het rechter lid op vergelijkbare wijze als hierboven volgt $\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_j}=\mu_j$ .

3. We weten nu dat we $\vec{x}$ kunnen schrijven als $\vec{x}=(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n$ . Omdat al deze termen loodrecht op elkaar staan, kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen en krijgen we $\begin{array}{rcl}\norm{\vec{x}}^2&=&\norm{(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n}^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{bovenstaande uitdrukking voor }\vec{x}}\\&=&\norm{(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})\vec{a}_1}^2 + \cdots +\norm{(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})\vec{a}_n}^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Pythagoras}}\\&=&(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})^2\norm{\vec{a}_1}^2 + \cdots + (\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})^2\norm{\vec{a}_n}^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct}}\\&=&(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_1})^2+\cdots+(\dotprod{\vec{x}}{\vec{a}_n})^2\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\norm{\vec{a}_i}= 1 \text{ vanwege orthonormaliteit van het stelsel}}\end{array}$

Basis

Uit de onderlinge onafhankelijkheid van de vectoren binnen een orthonormaal stelsel volgt dat wanneer we een orthonormaal stelsel van $n$ vectoren hebben in een $n$ -dimensionale inproductruimte, dit stelsel een basis vormt voor deze ruimte.

We zullen later laten zien dat er voor iedere eindigdimensionale inproductruimte een orthonormale basis gevonden kan worden.

Het stelsel $\frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,-1,0}, \, \frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,1,0},\,\rv{0,0,1}$ vormt een orthonormaal stelsel en is dus onafhankelijk. De drie vectoren vormen een basis van $\mathbb{R}^3$ , want de dimensie van de ruimte is $3$ . De coördinaten van $\vec{a}=\rv{2,2,2}$ ten opzichte van deze basis zijn
$\dotprod{\vec{a}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,-1,0}}=0, \phantom{xx} \dotprod{\vec{a}}{ \frac{1}{\sqrt{2}}\rv{1,1,0}}=2\sqrt{2},\phantom{xx} \dotprod{\vec{a}}{\rv{0,0,1}}=2$ Er geldt dus
$\rv{2,2,2}=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,\rv{1,1,0} + 2\,\cdot \rv{0,0,1}$

De volgende stelling is interessant voor het berekenen van inproducten als we een orthonormale basis tot onze beschikking hebben.

Laat $\basis{\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n}$ een orthonormale basis voor een inproductruimte $V$ zijn en laat $\vec{x}=\sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i,\qquad\vec{y}=\sum_{j=1}^n y_j\vec{e}_j$ vectoren van $V$ zijn, geschreven als lineaire combinaties van de basisvectoren. Dan is het inproduct van $\vec{x}$ en $\vec{y}$ als volgt uit te drukken: $\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}=\sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i$

Wegens de definitie van een basis kunnen we de vectoren $\vec{x}$ en $\vec{y}$ schrijven als
$\vec{x}=\sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i,\qquad \vec{y}=\sum_{i=1}^n y_i\vec{e}_i$ We schrijven nu het inproduct uit: $\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}&=&\displaystyle\dotprod{\left(\sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i\right)}{\left(\sum_{i=1}^n y_i\vec{e}_i\right)}\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{geschreven in termen van de basis}}\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i y_j \cdot(\dotprod{\vec{e}_i}{ \vec{e}_j})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{lineariteit van het inproduct}}\\&=&\displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i\cdot(\dotprod{\vec{e}_i}{\vec{e}_i})\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=0\text{ als }i\neq j}\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i y_i\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\dotprod{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=1\text{ als }i=j}\end{array}$

Evenals het standaardinproduct kan het inproduct geschreven worden als een product van een $(1\times n)$ -matrix en een $(n\times 1)$ -matrix. We schrijven $\vec{c}_x$ voor de coördinaatvector van $\vec{x}$ ten opzichte van de basis $\vec{e}_1,\ldots ,\vec{e}_n$ , gezien als kolomvector. Net zo schrijven we $\vec{c}_y$ voor de coördinaatvector van $\vec{y}$ geschreven als kolomvector. Deze vectoren zijn dus $(n\times1)$ -matrices. Nu kunnen we het inproduct $\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}$ schrijven als $\dotprod{\vec{x}}{\vec{y}}=\vec{c}_x^{\top}\,\vec{c}_y$ Bijvoorbeeld $\dotprod{\rv{2,3,1}}{\rv{-3,5,2}} = 2\cdot(-3)+3\cdot 5 +1\cdot 2= \matrix{2&3&1}\,\matrix{-3\\ 5\\2}$

De stelling leert ons dat als we in $V$ gaan rekenen met coördinaten ten opzichte van een orthonormale basis, we het inproduct van twee vectoren in $V$ uit kunnen drukken in termen van het standaardinproduct op $\mathbb{R}^n$ .

We bekijken de vectorruimte $\mathbb{R}^3$ met het standaardinproduct. Stel dat de volgende orthonormale basis gegeven is.
$\begin{array}{rll} \displaystyle \vec{v}_1&=&\displaystyle \rv{ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{2}\over{\sqrt{5}}} } \\ \vec{v}_2&=&\displaystyle \rv{ -{{2}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{5}}} } \\ \vec{v}_3&=&\displaystyle \rv{ 0 , 1 , 0 } \end{array}$
Bepaal de coördinaatvector $\vec{c}=\rv{c_1,c_2,c_3}$ ten opzichte van de hierboven gegeven basis van de vector
$\vec{x}=\rv{ 0 , 3 , 5 }$

$\vec{c}=$ $\rv{2\sqrt{5},\sqrt{5},3}$

De gegeven basis is orthonormaal. Volgens de Eigenschappen van orthonormale stelsels vectoren zijn de cöordinaten van een vector $\vec{x}$ ten opzichte van een orthonormale basis de inproducten van $\vec{x}$ met de basiselementen. We rekenen deze inproducten nu stuk voor stuk uit.
$\begin{array}{rcl} c_1&=&\displaystyle\dotprod{\vec{v}_1}{\vec{x}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\ &=&\displaystyle\dotprod{\rv{ {{1}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{2}\over{\sqrt{5}}} } }{\rv{ 0 , 3 , 5 } }\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vectoren ingevuld}}\\ &=&\displaystyle\left({{1}\over{\sqrt{5}}}\cdot0\right)+\left(0\cdot 3\right)+\left({{2}\over{\sqrt{5}}}\cdot5\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie standaardinproduct}}\\ &=&\displaystyle2\sqrt{5}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} c_2&=&\displaystyle\dotprod{\vec{v}_2}{\vec{x}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\ &=&\displaystyle\dotprod{\rv{ -{{2}\over{\sqrt{5}}} , 0 , {{1}\over{\sqrt{5}}} } }{\rv{ 0 , 3 , 5 } }\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vectoren ingevuld}}\\ &=&\displaystyle\left(-{{2}\over{\sqrt{5}}}\cdot0\right)+\left(0\cdot 3\right)+\left({{1}\over{\sqrt{5}}}\cdot5\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie standaardinproduct}}\\ &=&\displaystyle\sqrt{5}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} c_3&=&\displaystyle\dotprod{\vec{v}_3}{\vec{x}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{stelling}}\\ &=&\displaystyle \dotprod{\rv{ 0 , 1 , 0 } }{\rv{ 0 , 3 , 5 } }\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vectoren ingevuld}}\\ &=&\displaystyle\left(0\cdot0\right)+\left(1\cdot 3\right)+\left(0\cdot5\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie standaardinproduct}}\\ &=&\displaystyle3\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}$

Dus de coördinaatvector $\vec{c}$ wordt gegeven door $\rv{2\sqrt{5},\sqrt{5},3}$ .

Nieuw voorbeeld