We zullen stelling gebruiken Convergentie voor monotone sequenties . Aangezien alle voorwaarden $\left| f \cdot f_k \right|^2$ van de serie niet negatief wordt de serie zwak verhogen. Dus, als we bewijzen dat de ongelijkheid $$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left| f \cdot f_k \right|^2 \leq \displaystyle\left|\left| f \right|\right|^2$$ voor elke $n$, dan zullen we hebben vastgesteld dat de serie is begrensd en de convergentie criterium kan worden toegepast. Zo is het voor ons om deze ongelijkheid te bewijzen.

Beschouw de deelsom $s_n=\sum_{k=1}^n (f\cdot f_k) f_k$. Dan, voor $j\le n$, we hebben

$$\begin{array}{rcl}\displaystyle (f-s_n) \cdot f_j &=& f \cdot f_j - s_n \cdot f_j \\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linearity of the inner product}}\\&=&\displaystyle f \cdot f_j - \left(\sum_{k=1}^n (f \cdot f_k) f_k \cdot f_j \right) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definition of }s_n}\\&=& \displaystyle f \cdot f_j - \sum_{k=1}^n (f \cdot f_k) (f_k \cdot f_j) \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{linearity of the inner product}}\\&=& \displaystyle\displaystyle f \cdot f_j - f \cdot f_j \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{orthonormality of }f_1,f_2,\ldots}\\ &=&0 \end{array}$$

Dit betekent dat $f-s_n$ is loodrecht op elkaar $f_j$ voor $j\le n$. Aangezien $s_n$ een lineaire combinatie van $f_1,f_2,\ldots,f_n$, impliceert $(f - s_n) \cdot s_n = 0$. Tegen de stelling van Pythagoras , dit geeft de gelijkheid $$\begin{array}\displaystyle \left|\left| f \right|\right|^2=\left|\left| f - s_n + s_n \right|\right|^2= \left|\left| f - s_n\right|\right|^2 +\left|\left| s_n \right|\right|^2 \end{array}$$

Met name,

$$\begin{array}{rcl}\displaystyle {\parallel s_n \parallel}^2\ \leq \ {\parallel f \parallel}^2 \end{array}$$

We sluiten af door het gebruik van eigenschappen van orthogonale systemen (of het complex versie daarvan )

$$\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left| f \cdot f_k \right|^2 &=& {\big\Vert\sum_{k=1}^{n} (f \cdot f_k )\cdot f_k\big\Vert}^2 \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Pythagorean theorem}}\\ &=& {\parallel s_n\parallel}^2 \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definition }s_n}\\ & \leq &\left|\left| f \right|\right|^2 \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{the above inequality}} \end{array}$$

Dit geldt voor elke $n$, en zo de voorwaarden van de convergentie van monotone reeksen voldaan. De stelling volgt nu uit de toepassing van deze stelling.