Basisovergang

Lineaire afbeeldingen: Matrices van lineaire afbeeldingen

Basisovergang

Laat $V$ een $n$ -dimensionale vectorruimte zijn. Eerder hebben we de coördinatisatie van $V$ bekeken aan de hand van een basis. Nu bekijken we het verband tussen coördinatisaties aan de hand van twee bases:
$\alpha =\basis{\vec{a}_1,\ldots ,\vec{a}_n} \phantom{xx}\hbox{ en }\phantom{xx}\beta =\basis{\vec{b}_1,\ldots ,\vec{b}_n}$ Met iedere vector $\vec{x}\in V$ corresponderen nu twee stellen coördinaten: $\alpha (\vec{x})$ ten opzichte van de basis $\alpha$ en $\beta (\vec{x})$ ten opzichte van de basis $\beta$ . $\begin{array}{ccccccc} &&&V&&&\\ &\alpha&\swarrow&&\searrow&\beta&\\ \mathbb{R}^n&&&&&&\mathbb{R}^n\end{array}$ Het is nu duidelijk hoe het verband is tussen de $\alpha$ -coördinaten van $\vec{x}$ en de $\beta$ -coördinaten van $\vec{x}$ : we beginnen met het rijtje $\alpha$ -coördinaten, passen daarop de afbeelding $\alpha^{-1}$ toe zodat we op $\vec{x}\in V$ terecht komen, en passen daarop de afbeelding $\beta$ toe die de corresponderende $\beta(\vec{x})$ oplevert.

Laat $\alpha$ en $\beta$ twee bases in een $n$ -dimensionale vectorruimte $V$ zijn. Dan heet de lineaire afbeelding $\beta\,\alpha^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ de coördinatentransformatie van $\alpha$ naar $\beta$ .

Bekijk de bases $\alpha=\basis{1,x,x^2}$ en $\beta=\basis{x^2,x,1}$ voor de vectorruimte van alle veeltermen in $x$ van graad ten hoogste twee. Dan geldt

$\begin{array}{rcl}\alpha(a_0+a_1x+a_2x^2) &=&\rv{a_0,a_1,a_2}\\ \beta(a_0+a_1x+a_2x^2) &=&\rv{a_2,a_1,a_0}\end{array}$

Het is duidelijk dat de coördinatentransformatie van $\alpha$ naar $\beta$ bestaat uit de omwisseling van de eerste en de derde coördinaat. Dit is inderdaad de lineaire afbeelding $\beta\alpha^{-1}$ : $\beta\alpha^{-1}\rv{v_1,v_2,v_3} = \beta\rv{v_1+v_2x+v_3x^2} = \rv{v_3,v_2,v_1}$

De coördinatentransformatie kan beschreven worden door een matrix:

Laat $\alpha$ en $\beta$ bases zijn voor een $n$ -dimensionale vectorruimte $V$ en laat ${}_\beta I_\alpha=\left(\beta\,\alpha^{-1}\right)_\varepsilon$ de matrix van de lineaire afbeelding $\beta\,\alpha^{-1}$ zijn.

Als $\vec{x}$ de $\alpha$ -coördinaatvector is van een vector $\vec{v}$ in $V$ , dan is de $\beta$ -coördinaatvector van $\vec{v}$ gelijk aan ${}_\beta I_\alpha \,\vec{x}$ .

De matrix ${}_\beta I_\alpha$ heet de overgangsmatrix van basis $\alpha$ naar basis $\beta$ .

De coördinatentransformatie is een lineaire afbeelding van $\mathbb{R}^n$ naar zichzelf en wordt dus, volgens stelling Lineaire afbeeldingen in coördinaatruimten bepaald door matrices, bepaald door een $(n\times n)$ -matrix ${}_\beta I_\alpha$ waarvan de kolommen de beelden van $\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n$ onder $\beta\,\alpha^{-1}$ zijn. Er geldt $(\beta\alpha^{-1})(\vec{e}_i)=\beta(\alpha^{-1}(\vec{e}_i))=\beta(\vec{a}_i)$ De kolommen van deze matrix zijn dus de $\beta$ -coördinaatvectoren van de $\alpha$ -basisvectoren. De afbeelding $\beta\,\alpha^{-1}$ zet per constructie $\alpha$ -coördinaten om in $\beta$ -coördinaten. Zo'n omzetting kun je dus uitrekenen door met de matrix ${}_\beta I_\alpha$ te vermenigvuldigen.

Twee eigenschappen

We kunnen natuurlijk ook $\beta$ -coördinaten in $\alpha$ -coördinaten omzetten. Dat gaat met de matrix ${}_\alpha I_\beta$ . De productmatrix ${}_\alpha I_\beta\ {}_\beta I_\alpha$ zet de $\alpha$ -coördinaten van een vector $\vec{x}$ om in de $\beta$ -coördinaten van $\vec{x}$ en zet die weer om in de $\alpha$ -coördinaten van $\vec{x}$ . Dus ${}_\alpha I_\beta\ {}_\beta I_\alpha = I$ , ofwel ${}_\alpha I_\beta= {}_\beta I_\alpha^{-1}$ Als er nog een derde basis $\gamma$ in het spel is, kunnen we $\alpha$ -coördinaten omzetten in $\beta$ -coördinaten en deze vervolgens in $\gamma$ -coördinaten. Het resultaat is natuurlijk dat we $\alpha$ -coördinaten hebben omgezet in $\gamma$ -coördinaten, dus
${}_\gamma I_\beta \, {}_\beta I_\alpha = {}_\gamma I_\alpha$ Deze twee gelijkheden volgen ook door samenstellingen van afbeeldingen te bepalen: $\begin{array}{rcl} \alpha\beta^{-1} &=& \left(\beta\alpha^{-1}\right)^{-1}\\ \left(\gamma \beta^{-1}\right) \,\left( \beta\alpha^{-1}\right) &=&\gamma \alpha^{-1}\end{array}$

Coördinaatruimte

Het is van belang onderscheid te maken tussen rekenen op vectorniveau, dus met elementen van de vectorruimte $V$ , en rekenen op coördinaten-niveau, dus met rijtjes getallen. In het onderstaande voorbeeld is dit verschil duidelijk: de vectoren zijn veeltermen, de coördinaten rijtjes getallen.

Dit onderscheid is lastiger als we als vectorruimte $\mathbb{R}^n$ of $\mathbb{C}^n$ zelf hebben. Het rijtje getallen dat een vector uit $\mathbb{R}^n$ of $\mathbb{C}^n$ representeert is namelijk zelf ook op te vatten als een rijtje coördinaten, en wel ten opzichte van de standaardbasis $\varepsilon=\basis{\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n}$ :
$\rv{1,2,3}=1\vec{e}_1+2\vec{e}_2+3\vec{e}_3$

Bekijk de vectorruimte $P_2$ van reële veeltermen van graad hoogstens $2$ met de bases $\alpha=\basis{1,x,x^2}\phantom{xx}\text{ en }\phantom{xx} \beta=\basis{x-1,x^2-1,x^2+1}$ Bepaal de overgangsmatrix ${}_\beta I_\alpha$ van de basis $\alpha$ naar de basis $\beta$ en bereken de $\beta$ -coördinaatvector van $2 x^2-3 x+4$

overgangsmatrix ${}_\beta I_\alpha=\matrix{0 & 1 & 0 \\ -{{1}\over{2}} & -{{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ }$
$\beta$ -coördinaatvector : $\left[ -3 , {{1}\over{2}} , {{3}\over{2}} \right]$

We kunnen de basisvectoren van $\beta$ eenvoudig uitdrukken als lineaire combinaties van de basisvectoren van $\alpha$ :
$\begin{array}{rrr} x-1= & -1\cdot 1+1\cdot x+0\cdot x^2\\ x^2-1= & -1\cdot 1+0\cdot x+1\cdot x^2\\ x^2+1= & 1\cdot 1+0\cdot x+1\cdot x^2 & \end{array}$ We kennen dus de $\alpha$ -coördinaten van de vectoren van $\beta$ en daarmee de overgangsmatrix van $\beta$ naar $\alpha$ :
${}_\alpha I_\beta = \matrix{-1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ }$ De overgangsmatrix ${}_\beta I_\alpha$ is de inverse van deze matrix. We vinden
${}_\beta I_\alpha = \matrix{0 & 1 & 0 \\ -{{1}\over{2}} & -{{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} & {{1}\over{2}} \\ }$ Hoe bepalen we nu de $\beta$ -coördinaten van de vector $2 x^2-3 x+4$ ? Van deze vector zijn de $\alpha$ -coördinaten $\rv{4,-3,2}$ . Die zetten we om in $\beta$ -coördinaten met de matrix ${}_\beta I_\alpha$ :
${}_\beta I_\alpha\ \left(\,\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 2 \end{array}\,\right) = \frac{1}{2}\left(\,\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\,\right) \left(\,\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 2 \end{array}\,\right)\ =\matrix{-3 \\ {{1}\over{2}} \\ {{3}\over{2}} \\ }$

We verifiëren de resultaten:

De eerste kolom van ${}_\beta I_\alpha$ zou uit de $\beta$ -coördinaten van de eerste basisvector van $\alpha$ moeten bestaan. Die $\beta$ -coördinaten zijn $\rv{0,-\frac12,\frac12}$ en deze corresponderen met de vector $0\, (x-1)-\frac12 (x^2-1)+\frac12(x^2+1)=1$ De eerste basisvector van $\alpha$ is inderdaad gelijk aan $1$ . Ga zelf na dat de tweede kolom bestaat uit de $\beta$ -coördinaten van $x$ en de derde kolom uit de $\beta$ -coördinaten van $x^2$ .

Tot slot laten we zien dat $\left[ -3 , {{1}\over{2}} , {{3}\over{2}} \right]$ inderdaad de $\beta$ -coördinaatvector is van $2 x^2-3 x+4$ :
$-3(x-1)+\frac12(x^2-1)+\frac32 (x^2+1)=2x^2-3x+4$

Nieuw voorbeeld