Vectorrekening in vlak en ruimte: Bases en coördinaten
Het begrip basis
Om concrete berekeningen te kunnen uitvoeren is het handig om vectoren met behulp van getallen te beschrijven. De begrippen die we daarvoor nodig hebben zijn basis en coördinaat.
Basis van vlak en ruimte
- Een basis (meervoud: bases) van het vlak bestaat uit twee vectoren en die niet samen met op een lijn liggen. Elke vector uit het vlak is nu op unieke wijze te schrijven als lineaire combinatie van de vectoren , :
voor zekere getallen en die uniek zijn voor . De getallen , heten de coördinaten van de vector ten opzichte van de basis. - Een basis van de ruimte bestaat uit drie vectoren , , die niet samen met in een vlak liggen. Elke vector kunnen we dan schrijven als lineaire combinatie van deze drie vectoren:
waarin de scalairen , en eenduidig bepaald zijn. De vectoren , , vormen een basis van de ruimte en de getallen , , heten de coördinaten van de vector ten opzichte van de basis. - De vectoren en vormen een basis van , die we de standaardbasis van noemen.
- De vectoren , en vormen een basis van , die we de standaardbasis van noemen.
De coördinaten in het vlak en in de ruimte , die eerder gedefinieerd zijn, zijn de coördinaten zoals hier gedefinieerd voor de standaardbasis: voor en net zo, maar dan met een extra term , voor in .
We gaan na waarom de coördinaten eenduidig bepaald zijn door een basis van het vlak: stel . Dan volgt, na aftrekking van aan beide zijden:Omdat en niet samen met op een lijn liggen, concluderen met het criterium voor twee vectoren op lijn door oorsprong dat en , oftwel en . Dit laat zien dat de coördinaten en uniek zijn.
Het geval van de ruimte gaat net zo: stel Dit kan herschreven worden tot Als , dan staat hier na vermenigvuldiging aan beide zijn met de scalair , dat een lineaire combinatie is van en ; dit betekent dat in het vlak ligt door , en , een tegenspraak met de aanname. Er moet dus gelden: . Met dezelfde redenering voor de indices en in plaats van is af te leiden dat en . Dit laat zien dat de coördinaten , en uniek zijn.
We bespreken nog hoe je een basis kunt herkennen.
Twee kenmerken van een basis
We leggen een oorsprong van het vlak en van de ruimte vast.
- Twee vectoren in het vlak, respectievelijk drie vectoren in de ruimte, vormen dan en slechts dan een basis als elke vector van het vlak, respectievelijk de ruimte, er een lineaire combinatie van is.
- Twee vectoren in het vlak, respectievelijk drie vectoren in de ruimte, vormen dan en slechts dan een basis als de enige manier om de oorsprong als lineaire combinatie van deze vectoren te schrijven degene is met alle scalairen gelijk aan .
Om dit vast te stellen, gebruiken we het tweede kenmerk van een basis. Stel er zijn twee scalairen en , zodat . Dan voldoen en aan het stelsel lineaire vergelijkingen dat als oplossingen heeft: . In het bijzonder is een oplossing.
Dit laat zien dat geschreven kan worden als de lineaire combinatie waarbij scalairen zijn die niet beide gelijk aan zijn. Het tweede kenmerk van een basis geeft dat en geen basis vormen.
Ook het eerste kenmerk van een basis kan gebruikt worden om dit af te leiden. Als een lineaire combinatie van en is met scalairen en , dan voldoen die scalairen aan het stelsel lineaire vergelijkingen Dit laat zien dat de vector niet als lineaire combinatie van en te schrijven is. Het eerste kenmerk van een basis geeft dat en geen basis vormen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.